IMC 2004/1/3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8586
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2004/1/3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Νοέμ 17, 2012 7:26 pm

Έστω n \geqslant 2 ακέραιος και S_n το σύνολο όλων των αθροισμάτων της μορφής \displaystyle{ \sum_{k=1}^n x_k} όπου x_1,\ldots,x_n \in [0,\pi/2] και \displaystyle{ \sum_{k=1}^n \sin(x_k) = 1.}

(α) Να δειχθεί ότι το S_n είναι διάστημα.
(β) Αν \ell_n το μήκος του διαστήματος S_n να υπολογιστεί το \displaystyle{\lim_{n\to \infty} \ell_n.}


s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: IMC 2004/1/3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Σάβ Νοέμ 17, 2012 9:51 pm

Demetres έγραψε:Έστω n \geqslant 2 ακέραιος και S_n το σύνολο όλων των αθροισμάτων της μορφής \displaystyle{ \sum_{k=1}^n x_k} όπου x_1,\ldots,x_n \in [0,\pi/2] και \displaystyle{ \sum_{k=1}^n \sin(x_k) = 1.}

(α) Να δειχθεί ότι το S_n είναι διάστημα.
(β) Αν \ell_n το μήκος του διαστήματος S_n να υπολογιστεί το \displaystyle{\lim_{n\to \infty} \ell_n.}
Μία απόπειρα για το πρώτο

Το σύνολο \displaystyle{A=\{(a_1,a_2,...,a_n) \in [0,1]^n: a_1+a_2+...+a_n=1\}} είναι συμπαγές και συνεκτικό.

Η συνάρτηση \displaystyle{f:[0,1]^n \to \Bbb{R}} με \displaystyle{f\left((a_1,a_2,...,a_n)\right)=\sum_{i=1}^n Arcsina_i} είναι συνεχής και

\displaystyle{f(A)}, είναι το ζητούμενο σύνολο. Άρα είναι διάστημα και μάλιστα κλειστό και φραγμένο.


Σπύρος Καπελλίδης
Άβαταρ μέλους
emouroukos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1417
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: IMC 2004/1/3

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Σάβ Νοέμ 17, 2012 11:41 pm

Για το δεύτερο ερώτημα:

Έστω ότι οι αριθμοί {{x}_{k}}\in \left[ 0,\dfrac{\pi }{2} \right] , k=1,2,\ldots ,n, ικανοποιούν τη σχέση \displaystyle{\sum\limits_{k=1}^{n}{\sin \left( {{x}_{k}} \right)}=1}.

Εφόσον η συνάρτηση ημίτονο είναι κοίλη στο \left[ 0,\dfrac{\pi }{2} \right], από την ανισότητα Jensen έχουμε ότι:

\displaystyle{\sin \left( \dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}{{{x}_{k}}} \right)\ge \dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}{\sin \left( {{x}_{k}} \right)}=\dfrac{1}{n}\Rightarrow \dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}{{{x}_{k}}}\ge \arcsin \left( \dfrac{1}{n} \right)\Rightarrow}

\displaystyle{\Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{n}{{{x}_{k}}}\ge n\arcsin \left( \dfrac{1}{n} \right)} ,

με το ίσον να ισχύει αν και μόνο αν {{x}_{k}}=\arcsin \left( \dfrac{1}{n} \right) για κάθε k\in \left\{ 1,2,\ldots ,n \right\}.

Επίσης, χρησιμοποιώντας τη γνωστή ανισότητα

\sin x\ge \dfrac{2x}{\pi } , για κάθε x\in \left[ 0,\dfrac{\pi }{2} \right],

βρίσκουμε ότι:

\displaystyle{\sum\limits_{k=1}^{n}{{{x}_{k}}}\le \dfrac{\pi }{2}\sum\limits_{k=1}^{n}{\sin \left( {{x}_{k}} \right)}=\dfrac{\pi }{2}} ,

με το ίσον να ισχύει, για παράδειγμα, αν {{x}_{1}}=\dfrac{\pi }{2} και {{x}_{k}}=0 για κάθε k\in \left\{ 2,3,\ldots ,n \right\}.

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι {{S}_{n}}=\left[ n\arcsin \left( \dfrac{1}{n} \right),\dfrac{\pi }{2} \right] για κάθε θετικό ακέραιο n.

Επομένως, είναι:

{{\ell }_{n}}=\dfrac{\pi }{2}-n\arcsin \left( \dfrac{1}{n} \right) για κάθε θετικό ακέραιο n.

Εφόσον

\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,n\arcsin \left( \dfrac{1}{n} \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\arcsin \left( \dfrac{1}{n} \right)}{\dfrac{1}{n}}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\arcsin \left( x \right)}{x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{\left( \arcsin \left( x \right) \right)}^{\prime }}}{{{\left( x \right)}^{\prime }}}=

=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{1-{{x}^{2}}}=1,

θα είναι

\boxed{\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\ell }_{n}}=\dfrac{\pi }{2}-1}.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: SemrushBot και 1 επισκέπτης