ΙΜC 2004/2/1

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8586
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

ΙΜC 2004/2/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Νοέμ 23, 2012 11:55 am

Έστω πραγματικοί πίνακες A,B διαστάσεων 4 \times 2 και 2 \times 4 αντίστοιχα έτσι ώστε
\displaystyle{ AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}}.

Να βρεθεί ο πίνακας BA.


Άβαταρ μέλους
emouroukos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1417
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: ΙΜC 2004/2/1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Παρ Νοέμ 23, 2012 4:10 pm

Θέτουμε \displaystyle{C = BA} και παρατηρούμε ότι:

\displaystyle{{\left( {AB} \right)^2} = 2AB}

και άρα \displaystyle{B{\left( {AB} \right)^2}A = 2BABA}, δηλαδή

\displaystyle{{C^3} = 2{C^2}} \bf \color{red} \left(1 \right).

Αλλά, έχουμε ότι

\displaystyle{2 = {\rm{rank}}\left( {AB} \right) = {\rm{rank}}\left( {{{\left( {AB} \right)}^2}} \right) = {\rm{rank}}\left( {A\left( {BA} \right)B} \right) \le {\rm{rank}}\left( C \right)}

οπότε \displaystyle{{\rm{rank}}\left( C \right) = 2} (αφού ο \displaystyle{C} είναι πίνακας \displaystyle{2 \times 2}).

Άρα, ο πίνακας \displaystyle{C} είναι αντιστρέψιμος, οπότε από τη σχέση \bf \color{red} \left(1 \right) προκύπτει άμεσα ότι:

\displaystyle{C = 2{I_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 
2&0\\ 
0&2 
\end{array}} \right)}.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13143
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΙΜC 2004/2/1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Νοέμ 23, 2012 5:12 pm

Demetres έγραψε:Έστω πραγματικοί πίνακες A,B διαστάσεων 4 \times 2 και 2 \times 4 αντίστοιχα έτσι ώστε
\displaystyle{ AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}}.

Να βρεθεί ο πίνακας BA.
Αλλιώς και λίγο γενικότερα, έστω AB= \begin{pmatrix} 
I & X\\  
Y & I 
\end{pmatrix} όπου I είναι ο 2\times 2 ταυτοτικός και X,\, Y οποιοιδήποτε 2\times 2 πίνακες.
Για κατάλληλους 2\times 2 πίνακες P, \, Q, \, R, \, S είναι A=  \begin{pmatrix} 
P\\ Q 
 
\end{pmatrix} και B= 
\begin{pmatrix} 
R &S  
\end{pmatrix} και η υπόθεση γράφεται

\begin{pmatrix} 
P\\ Q 
 
\end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} 
R &S  
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 
I & X\\  
Y & I 
\end{pmatrix}.

Άρα PR=QS=I, που σημαίνει ότι οι P,\, R είναι αντίστροφοι ο ένας του άλλου, και όμοια οι Q, \, S. Άρα

BA=\begin{pmatrix} 
R &S  
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 
P\\ Q 
 
\end{pmatrix} = RP+SQ=I+I=2I.

Φιλικά,

Μιχάλης


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης