IMC 2004/2/3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2004/2/3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Νοέμ 23, 2012 12:09 pm

Έστω D ο κλειστός μοναδιαίος δίσκος στο επίπεδο και σημεία p_1,\ldots,p_n στο D. Να δειχθεί ότι υπάρχει σημείο p του D ώστε το άθροισμα των αποστάσεων του p από τα p_i να είναι μεγαλύτερο ή ίσο του n.
Η εκφώνηση όπως την έχω λέει το άθροισμα να είναι μεγαλύτερο ή ίσο του 1 το οποίο όμως είναι τετριμμένο. Η λύση δίνει άθροισμα μεγαλύτερο ή ίσο του n.


Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 650
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Oxford, United Kingdom

Re: IMC 2004/2/3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Παρ Νοέμ 23, 2012 2:04 pm

Έστω τυχαία διάμετρος AB. Προβάλουμε τα σημεία πάνω σε αυτήν και έστω a_1, a_2, ... a_n οι αποστάσεις του A από τις προβολές των n σημείων στη διάμετρο. Τότε b_1 = 2 - a_1, b_2 = 2 - a_2, ..., b_n = 2 - a_n είναι οι αντίστοιχες αποστάσεις του B από τις ίδιες προβολές. Επειδή \sum_{i=1}^{n}{a_i} + \sum_{i=1}^{n}{b_i} = 2n, ένα εκ των δύο αθροισμάτων είναι μεγαλύτερο η ίσο του n. Έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι:
\sum_{i=1}^{n}{a_i} \geq n, τότε επειδή οι οι προβολές πάνω στη διάμετρο έχουν μικρότερες αποστάσεις από τα άκρο της A από αυτές που έχουν τα αντίστοιχα σημεία, το ζητούμενο έπεται.


Κολλιοπουλος Νικος -- Απόφοιτος ΣΕΜΦΕ - ΕΜΠ, Υποψήφιος διδάκτωρ στο πανεπιστήμιο της Οξφόρδης

https://www.maths.ox.ac.uk/people/nikolaos.kolliopoulos
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11157
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: IMC 2004/2/3

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Νοέμ 23, 2012 2:34 pm

Demetres έγραψε:Έστω D ο κλειστός μοναδιαίος δίσκος στο επίπεδο και σημεία p_1,\ldots,p_n στο D. Να δειχθεί ότι υπάρχει σημείο p του D ώστε το άθροισμα των αποστάσεων του p από τα p_i να είναι μεγαλύτερο ή ίσο του n.
Νίκο να ΄σαι πάντα καλά.

Ουσιαστικά η ίδια απόδειξη με του Νίκου, από όπου έκλεψα την ιδέα:

Αν A, \, B αντιδιαμετρικά σημεία, τότε AP_i+BPi \ge AB =2. Άρα \displaystyle{ \left(\sum APi \right ) +\left (\sum BP_i \right) \ge 2n}, οπότε κάποιο από τα δύο αθροίσματα είναι \displaystyle{\ge n}. Τελειώσαμε.

Για την λογοκλοπή,

Μιχάλης

Υ.Γ.
Ο λόγος που έγραψα την λύση είναι γιατί με μικρή ακόμα προσθήκη μπορούμε να βελτιώσουμε το πρόβλημα:

Έστω D ο κλειστός μοναδιαίος δίσκος στο επίπεδο και σημεία p_1,\ldots,p_n στο D. Να δειχθεί ότι υπάρχει σημείο p του D ώστε το άθροισμα των αποστάσεων του p από τα p_i να είναι ακριβώς ίσο με n.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC 2004/2/3

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Νοέμ 23, 2012 3:20 pm

Νομίζω ότι για τρίτο πρόβλημα η συγκεκριμένη άσκηση ήταν αρκετά εύκολη.
Mihalis_Lambrou έγραψε: Έστω D ο κλειστός μοναδιαίος δίσκος στο επίπεδο και σημεία p_1,\ldots,p_n στο D. Να δειχθεί ότι υπάρχει σημείο p του D ώστε το άθροισμα των αποστάσεων του p από τα p_i να είναι ακριβώς ίσο με n.
Για κάθε σημείο x του δίσκου θέτω \displaystyle{f(x) = \sum_{i=1}^n d(x,p_i)}. Η f είναι συνεχής και ο δίσκος συνεκτικός επομένως και η εικόνα της f είναι συνεκτική. Έχει δειχθεί όμως ότι υπάρχει p με f(p) \geqslant n. Επίπλέον αν q το κέντρο του δίσκου τότε f(q) \leqslant n. Απαραίτητα λοιπόν η εικόνα της f θα περιέχει και το διάστημα [f(q),f(p)] το οποίο περιέχει το n.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11157
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: IMC 2004/2/3

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Νοέμ 23, 2012 3:53 pm

Ωραιότατα.

Η λύση που είχα κατά νου είναι η εξής μικρή παραλλαγή: Αν \sum APi = \sum BPi = n, τελειώσαμε. Έστω λοιπόν \sum APi > n > \sum BPi. Για οποιοδήποτε σημείο X στην ημιπεριφέρεια AB (την μία από τις δύο) ορίζουμε f(X) = \sum XPi, η οποία βέβαια μεταβάλεται κατά συνεχή τρόπο με το X. Επειδή f(A) >n>f(B), σε κάποιο ενδιάμεσο σημείο θα ισχύει η ισότητα.

Φιλικά,

Μιχάλης


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης