IMC 2004/2/3
Συντονιστής: Demetres
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
IMC 2004/2/3
Έστω ο κλειστός μοναδιαίος δίσκος στο επίπεδο και σημεία στο . Να δειχθεί ότι υπάρχει σημείο του ώστε το άθροισμα των αποστάσεων του από τα να είναι μεγαλύτερο ή ίσο του .
Re: IMC 2004/2/3
Έστω τυχαία διάμετρος . Προβάλουμε τα σημεία πάνω σε αυτήν και έστω οι αποστάσεις του από τις προβολές των σημείων στη διάμετρο. Τότε είναι οι αντίστοιχες αποστάσεις του από τις ίδιες προβολές. Επειδή , ένα εκ των δύο αθροισμάτων είναι μεγαλύτερο η ίσο του . Έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι:
, τότε επειδή οι οι προβολές πάνω στη διάμετρο έχουν μικρότερες αποστάσεις από τα άκρο της από αυτές που έχουν τα αντίστοιχα σημεία, το ζητούμενο έπεται.
, τότε επειδή οι οι προβολές πάνω στη διάμετρο έχουν μικρότερες αποστάσεις από τα άκρο της από αυτές που έχουν τα αντίστοιχα σημεία, το ζητούμενο έπεται.
Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15732
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: IMC 2004/2/3
Νίκο να ΄σαι πάντα καλά.Demetres έγραψε:Έστω ο κλειστός μοναδιαίος δίσκος στο επίπεδο και σημεία στο . Να δειχθεί ότι υπάρχει σημείο του ώστε το άθροισμα των αποστάσεων του από τα να είναι μεγαλύτερο ή ίσο του .
Ουσιαστικά η ίδια απόδειξη με του Νίκου, από όπου έκλεψα την ιδέα:
Αν αντιδιαμετρικά σημεία, τότε . Άρα , οπότε κάποιο από τα δύο αθροίσματα είναι . Τελειώσαμε.
Για την λογοκλοπή,
Μιχάλης
Υ.Γ.
Ο λόγος που έγραψα την λύση είναι γιατί με μικρή ακόμα προσθήκη μπορούμε να βελτιώσουμε το πρόβλημα:
Έστω ο κλειστός μοναδιαίος δίσκος στο επίπεδο και σημεία στο . Να δειχθεί ότι υπάρχει σημείο του ώστε το άθροισμα των αποστάσεων του από τα να είναι ακριβώς ίσο με .
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: IMC 2004/2/3
Νομίζω ότι για τρίτο πρόβλημα η συγκεκριμένη άσκηση ήταν αρκετά εύκολη.
Για κάθε σημείο του δίσκου θέτω . Η είναι συνεχής και ο δίσκος συνεκτικός επομένως και η εικόνα της είναι συνεκτική. Έχει δειχθεί όμως ότι υπάρχει με . Επίπλέον αν το κέντρο του δίσκου τότε . Απαραίτητα λοιπόν η εικόνα της θα περιέχει και το διάστημα το οποίο περιέχει το .Mihalis_Lambrou έγραψε: Έστω ο κλειστός μοναδιαίος δίσκος στο επίπεδο και σημεία στο . Να δειχθεί ότι υπάρχει σημείο του ώστε το άθροισμα των αποστάσεων του από τα να είναι ακριβώς ίσο με .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15732
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: IMC 2004/2/3
Ωραιότατα.
Η λύση που είχα κατά νου είναι η εξής μικρή παραλλαγή: Αν , τελειώσαμε. Έστω λοιπόν . Για οποιοδήποτε σημείο στην ημιπεριφέρεια (την μία από τις δύο) ορίζουμε , η οποία βέβαια μεταβάλεται κατά συνεχή τρόπο με το . Επειδή , σε κάποιο ενδιάμεσο σημείο θα ισχύει η ισότητα.
Φιλικά,
Μιχάλης
Η λύση που είχα κατά νου είναι η εξής μικρή παραλλαγή: Αν , τελειώσαμε. Έστω λοιπόν . Για οποιοδήποτε σημείο στην ημιπεριφέρεια (την μία από τις δύο) ορίζουμε , η οποία βέβαια μεταβάλεται κατά συνεχή τρόπο με το . Επειδή , σε κάποιο ενδιάμεσο σημείο θα ισχύει η ισότητα.
Φιλικά,
Μιχάλης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες