IMC 2005/1/1

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2005/1/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Δεκ 16, 2012 4:19 pm

Έστω ένας n \times n πίνακας A με A_{ij} = i+j. Να βρεθεί η τάξη του A.


Άβαταρ μέλους
emouroukos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1417
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: IMC 2005/1/1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Κυρ Δεκ 16, 2012 5:02 pm

Αν \displaystyle{n = 1}, τότε προφανώς η τάξη του πίνακα \displaystyle{A} είναι ίση με \displaystyle{1}.

Έστω ότι \displaystyle{n \ge 2}. Αφαιρούμε την \displaystyle{k}-στή γραμμή του πίνακα \displaystyle{A} από την \displaystyle{\left( {k + 1} \right)}-στή γραμμή του, για \displaystyle{k \in \left\{ {1,2, \ldots ,n - 1} \right\}}, και στη συνέχεια αφαιρούμε τη δεύτερη γραμμή του από την \displaystyle{k}-στή, για \displaystyle{k \in \left\{ {1, 3, \ldots ,n } \right\}}. Οι πράξεις αυτές δεν αλλάζουν την τάξη του πίνακα, οπότε:

\displaystyle{{\rm{rank}}A = {\rm{rank}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 
2&3& \cdots &n&{n + 1}\\ 
3&4& \cdots &{n + 1}&{n + 2}\\ 
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 
n&{n + 1}& \cdots &{2n - 2}&{2n - 1}\\ 
{n + 1}&{n + 2}& \ldots &{2n - 1}&{2n} 
\end{array}} \right) = }

\displaystyle{ = {\rm{rank}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 
2&3& \cdots &n&{n + 1}\\ 
1&1& \cdots &1&1\\ 
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 
1&1& \cdots &1&1\\ 
1&1& \ldots &1&1 
\end{array}} \right) = {\rm{rank}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 
1&2& \cdots &{n - 1}&n\\ 
1&1& \cdots &1&1\\ 
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 
0&0& \cdots &0&0\\ 
0&0& \ldots &0&0 
\end{array}} \right) = 2}.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης