IMC 2005/1/3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2005/1/3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Δεκ 16, 2012 4:29 pm

Έστω f:\mathbb{R} \to [0,\infty) μια συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση. Να αποδειχθεί ότι

\displaystyle{ \left|\int_0^1 f^3(x) \, dx - f^2(0)\int_0^1 f(x) \, dx\right| \leqslant \max_{0 \leqslant x \leqslant 1}|f'(x)| \left( \int_0^1 f(x) \, dx\right)^2. }


Άβαταρ μέλους
emouroukos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1417
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: IMC 2005/1/3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Κυρ Δεκ 16, 2012 6:33 pm

Θέτουμε \displaystyle{\left\| {f'} \right\| = \mathop {\max }\limits_{0 \le x \le 1} \left| {f'\left( x \right)} \right|}, οπότε έχουμε διαδοχικά ότι:

Για κάθε \displaystyle{x \in \left[ {0,1} \right]},

\displaystyle{ - \left\| {f'} \right\| \le f'\left( x \right) \le \left\| {f'} \right\|},

οπότε

\displaystyle{ - \left\| {f'} \right\|f\left( x \right) \le f\left( x \right)f'\left( x \right) \le \left\| {f'} \right\|f\left( x \right)}

και, με ολοκλήρωση στο \displaystyle{\left[ {0,x} \right]},

\displaystyle{ - \left\| {f'} \right\|\int_0^x {f\left( t \right)} dt \le \int_0^x {f\left( t \right)f'\left( t \right)} dt \le \left\| {f'} \right\|\int_0^x {f\left( t \right)} dt},

δηλαδή

\displaystyle{ - \left\| {f'} \right\|\int_0^x {f\left( t \right)} dt \le \frac{1}{2}{f^2}\left( x \right) - \frac{1}{2}{f^2}\left( 0 \right) \le \left\| {f'} \right\|\int_0^x {f\left( t \right)} dt}.

Πολλαπλασιάζοντας με \displaystyle{f\left( x \right)} και ολοκληρώνοντας στο \displaystyle{\left[ {0,1} \right]} έχουμε ότι:

\displaystyle{  - \left\| {f'} \right\|f\left( x \right)\int_0^x {f\left( t \right)} dt \le \frac{1}{2}{f^3}\left( x \right) - \frac{1}{2}{f^2}\left( 0 \right)f\left( x \right) \le \left\| {f'} \right\|f\left( x \right)\int_0^x {f\left( t \right)} dt \Rightarrow }

\displaystyle{ \Rightarrow - \left\| {f'} \right\|\int_0^1 {\left( {f\left( x \right)\int_0^x {f\left( t \right)} dt} \right)} dx \le \frac{1}{2}\int_0^1 {{f^3}\left( x \right)} dx - \frac{1}{2}{f^2}\left( 0 \right)\int_0^1 {f\left( x \right)} dx \le \left\| {f'} \right\|\int_0^1 {\left( {f\left( x \right)\int_0^x {f\left( t \right)} dt} \right)} dx \Rightarrow }

\displaystyle{ \Rightarrow - \left\| {f'} \right\|\frac{1}{2}{\left( {\int_0^1 {f\left( x \right)dx} } \right)^2} \le \frac{1}{2}\int_0^1 {{f^3}\left( x \right)} dx - \frac{1}{2}{f^2}\left( 0 \right)\int_0^1 {f\left( x \right)} dx \le \left\| {f'} \right\|\frac{1}{2}{\left( {\int_0^1 {f\left( x \right)dx} } \right)^2} \Rightarrow }

\displaystyle{ \Rightarrow \left| {\int_0^1 {{f^3}\left( x \right)} dx - {f^2}\left( 0 \right)\int_0^1 {f\left( x \right)} dx} \right| \le \left\| {f'} \right\|{\left( {\int_0^1 {f\left( x \right)dx} } \right)^2}  }

και το ζητούμενο δείχθηκε.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης