IMC 2005/2/1

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2005/2/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Φεβ 08, 2013 9:11 pm

Έστω το πολυώνυμο f(x) = x^2 + bx +c όπου b,c \in \mathbb{R} και έστω

\displaystyle{ M = \{x \in \mathbb{R}:|f(x)| \leqslant 1\}.}

Προφανώς το σύνολο M είναι είτε κενό είτε ένωση ξένων ανά δύο ανοικτών διαστημάτων. Ορίζουμε το άθροισμα των μηκών τους με |M|. Να δειχθεί ότι |M| \leqslant 2 \sqrt{2}.


tamos
Δημοσιεύσεις: 7
Εγγραφή: Τρί Μαρ 26, 2013 9:06 am

Re: IMC 2005/2/1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από tamos » Παρ Μαρ 29, 2013 10:05 am

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι  b=0. Διακρίνουμε δυο περιπτώσεις:

(α) -1\leq c\leq 1. Τότε, |M|=2\delta όπου \delta θετική ρίζα της f(x)=1. Μ'αλλα λόγια |M|=2\sqrt{1+c}\leq 2\sqrt{2}.

(β) c<-1. Τότε, |M|=2(\varepsilon-\delta), όπου \delta,\varepsilon>0 με f(\delta)=-1 και f(\varepsilon)=1. Δηλαδή, εχουμε |M|=2(\sqrt{1-c}-\sqrt{-1-c})<2\sqrt{2}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης