IMC 2005/2/2

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2005/2/2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Φεβ 08, 2013 9:13 pm

Έστω συνάρτηση f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} τέτοια ώστε το f(x)^n να είναι πολυώνυμο για n=2,3,\ldots. Ισχύει ότι και η f είναι πολυώνυμο;


Άβαταρ μέλους
emouroukos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1417
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: IMC 2005/2/2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Παρ Φεβ 08, 2013 9:37 pm

Η απάντηση είναι καταφατική.

Γράφουμε τη ρητή συνάρτηση \displaystyle{f\left( x \right) = \frac{{{f^3}\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}} στη μορφή \displaystyle{f\left( x \right) = \frac{{a\left( x \right)}}{{b\left( x \right)}}}, όπου \displaystyle{{a\left( x \right),b\left( x \right)}} πολυώνυμα με \displaystyle{\left( {a\left( x \right),b\left( x \right)} \right) = 1}. Τότε, είναι

\displaystyle{{f^2}\left( x \right) = {\left( {\frac{{{f^3}\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}} \right)^2}  = \frac{{{a^2}\left( x \right)}}{{{b^2}\left( x \right)}},}

όπου \displaystyle{\left( {{a^2}\left( x \right),{b^2}\left( x \right)} \right) = 1.} Εφόσον το \displaystyle{{f^2}\left( x \right)} είναι πολυώνυμο, έπεται ότι το πολυώνυμο \displaystyle{{{b^2}\left( x \right)}}, άρα και το \displaystyle{{b\left( x \right)}}, είναι σταθερό. Άρα, το \displaystyle{f\left( x \right) = \frac{{a\left( x \right)}}{{b\left( x \right)}}} είναι πολυώνυμο.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης