Aνοιχτό διάστημα ως ένωση κλειστών διαστημάτων

[nickthegreek]

Ένα πολύ ωραίο πρόβλημα:

Μπορούμε να γράψουμε το ως ένωση ξένων ανά δύο μεταξύ τους κλειστών διαστημάτων;

[Mihalis_Lambrou]

Βλέπε εδώ για την περίπτωση του . Όμως πάμε από το ένα στο άλλο είτε μιμούμενοι την απόδειξη είτε κτυπώντας με την όλα τα διαστήματα και παρατηρώντας ότι η είναι γνήσια αύξουσα που στέλνει το στο με συνεχή τρόπο.

[Ilias_Zad]

Νομίζω στο blog του Tao είχα διαβάσει την εξής απλή απόδειξη που πιστεύω αξίζει να μοιραστώ μαζί σας:

Έστω ότι τα ξένα έχουν σαν ένωση το .

Θεωρούμε το αριθμήσιμο .
Τώρα ας πάρουμε ένα φυσικό και ας σταθεροποιήσουμε το ( αντίστοιχα το ) .
Τότε επειδή είναι όλα κλειστά και ξένα τα διαστήματα και έχουν σαν ένωση το υπάρχει υπακολουθία στο που συγκλίνει στο ( αντίστοιχα στο ).
Αυτό όμως σημαίνει ότι το είναι τέλειο και άρα από γνωστή πρόταση υπεραριθμήσιμο, πράγμα αδύνατο.

EDIT: Μόλις είδα δυστυχώς ότι υπάρχει από τον Κ. Σπύρο στο link. Την αφήνω όμως απλά σαν αναφορά.