SEEMOUS 2013/1

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8571
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

SEEMOUS 2013/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Μαρ 24, 2013 11:30 am

Ανεπίσημα από εδώ.

Έστω συνεχής f:[1,8] \to \mathbb{R} με \displaystyle{ \int_1^2 f^2(t^3) \, dt + 2\int_1^2 f(t^3) \, dt = \frac{2}{3}\int_1^8 f(t) \, dt - \int_1^2 (t^2-1)^2 \, dt.} Να βρεθεί ο τύπος της f.


kostas_zervos
Δημοσιεύσεις: 1156
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 25, 2010 8:26 am
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: SEEMOUS 2013/1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas_zervos » Κυρ Μαρ 24, 2013 11:55 am

Θέτοντα t=u^3 στο \int_{1}^{8}f(t)dt , έχουμε dt=3u^2du

\int_{1}^{2}f^2(t)dt+2\int_{1}^{2}f(t)dt=2\int_{1}^{2}f(u^3)u^2du-\int_{1}^{2}(t^2-1)^2dt

\int_{1}^{2}\left[f^2(t^3)-2(t^2-1)f(t^3)+(t^2-1)^2\right]dt=0

\int_{1}^{2}\left[f(t^3)-(t^2-1)\right]^2dt=0

Επομένως f(x^3)=x^2-1

Άρα f(x)=\sqrt[3]{x^2}-1


Κώστας Ζερβός
Eukleidis
Δημοσιεύσεις: 669
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 01, 2009 9:55 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: SEEMOUS 2013/1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Eukleidis » Δευ Μαρ 25, 2013 10:59 am

Βέβαια η \displaystyle{f} ορίζεται στο \displaystyle{\left[ {1,8} \right]} και εμείς βρίσκουμε τον τύπο της στο \displaystyle{\left[ {1,2} \right]}. Μάλλον οι θεματοδότες έπρεπε να ζητήσουν την \displaystyle{f} στο \displaystyle{\left[ {1,2} \right]}


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8571
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: SEEMOUS 2013/1

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Μαρ 25, 2013 1:00 pm

Γιώργο, όπως το βλέπω είναι σωστό. Στο [1,8] βρήκε τον τύπο της f ο Κώστας.

Υ.Γ. Ευχαριστώ για την ανάρτηση και του θέματος που έλειπε.


kostas_zervos
Δημοσιεύσεις: 1156
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 25, 2010 8:26 am
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: SEEMOUS 2013/1

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas_zervos » Δευ Μαρ 25, 2013 1:20 pm

Έχω παραλέιψει μερικά σημεία στην λύση για να την κάνω πιο σύντομη.

Για το πεδίο ορισμού της f έχουμε ότι για x\in[1,2] , θέτοντας t=x^3 ( άρα x=\sqrt[3]{t} ) τότε t\in[1,8] , επομένως f(t)=\sqrt[3]{t^2}-1\;,\;t\in[1,8]\dots


Κώστας Ζερβός
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες