SEEMOUS 2013/3

Συντονιστής: Demetres

Eukleidis
Δημοσιεύσεις: 669
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 01, 2009 9:55 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

SEEMOUS 2013/3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Eukleidis » Δευ Μαρ 25, 2013 10:48 am

Βρείτε τη μέγιστη δυνατή τιμή του \displaystyle{\int\limits_0^1 {{{\left| {f'\left( x \right)} \right|}^2}\left| {f\left( x \right)} \right|\frac{1}{{\sqrt x }}dx} } για όλες τις συνεχώς παραγωγίσιμες συναρτήσεις \displaystyle{f:\left[ {0,1} \right] \to } με \displaystyle{f\left( 0 \right) = 0} και \displaystyle{\int\limits_0^1 {{{\left| {f'\left( x \right)} \right|}^2} \le 1} }.


Γιώργος
Ilias_Zad
Δημοσιεύσεις: 418
Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 11:44 pm

Re: SEEMOUS 2013/3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ilias_Zad » Δευ Μαρ 25, 2013 2:37 pm

Με Cauchy-Schwarz βλέπουμε ότι |f(t)|=|\int_{0}^{t}f'(t)dt| \leq |\int_{0}^{t}f'(t)^2|^{\frac{1}{2}}|\sqrt{t}| .
Άρα \int_{0}^{1}|f'(t)|^2|f(t)|t^{-\frac{1}{2}}dt \leq \int_{0}^{1}|f'(t)|^2 (\int_{0}^{t}f'(t)^2)^{\frac{1}{2}}dt=\frac{2}{3}(\int_{0}^{1}f'(t)^2dt)^{\frac{3}{2}} \leq \frac{2}{3}, ισότητα γιαf(t)=t.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης