IMC 2006/1/1

#1

Έστω συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ . Να αποδειχθούν ή να καταρριφθούν τα ακόλουθα:

(α) Αν η

είναι συνεχής με σύνολο τιμών το $\mathbb{R}$ τότε η

είναι μονότονη.

(β) Αν η

είναι μονότονη με σύνολο τιμών το $\mathbb{R}$ τότε η

είναι συνεχής.

(γ) Αν η

είναι μονότονη και συνεχής τότε το σύνολο τιμών της είναι το $\mathbb{R}$ .

#2

Οι ισχυρισμός (α) και (γ) είναι λανθασμένοι, ενώ ο (β) είναι αληθής.

Ένα αντιπαράδειγμα για το (α) είναι η συνάρτηση $\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{x}{2} + \sin x}$ , η οποία είναι συνεχής με $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty }$ και $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty }$ , οπότε $\displaystyle{f\left( \mathbb{R} \right) = \mathbb{R}}$ , αλλά $\displaystyle{f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{4} + 1 > \frac{\pi }{2} = f\left( \pi \right)}$ και $\displaystyle{f\left( \pi \right) = \frac{\pi }{2} < \pi = f\left( {2\pi } \right)}$ , οπότε η

δεν είναι μονότονη.

Ένα αντιπαράδειγμα για το (γ) είναι η συνάρτηση $\displaystyle{f\left( x \right) = {e^x}}$ , η οπoία είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, αλλά $\displaystyle{f\left( \mathbb{R} \right) = \left( {0, + \infty } \right)}$ .

Για την απόδειξη του (β) υποθέτουμε, δίχως βλάβη της γενικότητας, ότι η

είναι αύξουσα με $\displaystyle{f\left( \mathbb{R} \right) = \mathbb{R}}$ . Θα αποδείξουμε ότι η

είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ . Έστω ότι η

είναι ασυνεχής στο $x_0 \in \mathbb{R}$ . Τότε, από τη μονοτονία της

θα έχουμε ότι

$\displaystyle{a: = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) < \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = :b,}$

οπότε $\displaystyle{f\left( x \right) \le a}$ για $\displaystyle{x < {x_0}}$ και $\displaystyle{f\left( x \right) \ge b}$ για $\displaystyle{x > {x_0}}$ και άρα

$\displaystyle{ \mathbb{R} = f\left( \mathbb{R} \right) \subseteq \left( { - \infty ,a} \right] \cup \left\{ {f\left( {{x_0}} \right)} \right\} \cup \left[ {b, + \infty } \right),}$

που είναι άτοπο. Άρα, η

είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ .

IMC 2006/1/1

IMC 2006/1/1

Re: IMC 2006/1/1

Μέλη σε σύνδεση