IMC 2006/1/1

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8586
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2006/1/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Μαρ 30, 2013 11:05 am

Έστω συνάρτηση f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}. Να αποδειχθούν ή να καταρριφθούν τα ακόλουθα:

(α) Αν η f είναι συνεχής με σύνολο τιμών το \mathbb{R} τότε η f είναι μονότονη.

(β) Αν η f είναι μονότονη με σύνολο τιμών το \mathbb{R} τότε η f είναι συνεχής.

(γ) Αν η f είναι μονότονη και συνεχής τότε το σύνολο τιμών της είναι το \mathbb{R}.


Άβαταρ μέλους
emouroukos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1417
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: IMC 2006/1/1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Σάβ Μαρ 30, 2013 5:51 pm

Οι ισχυρισμός (α) και (γ) είναι λανθασμένοι, ενώ ο (β) είναι αληθής.

Ένα αντιπαράδειγμα για το (α) είναι η συνάρτηση \displaystyle{f\left( x \right) = \frac{x}{2} + \sin x}, η οποία είναι συνεχής με \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) =  - \infty } και \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  + \infty }, οπότε \displaystyle{f\left( \mathbb{R} \right) = \mathbb{R}}, αλλά \displaystyle{f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{4} + 1 > \frac{\pi }{2} = f\left( \pi  \right)} και \displaystyle{f\left( \pi  \right) = \frac{\pi }{2} < \pi  = f\left( {2\pi } \right)}, οπότε η f δεν είναι μονότονη.

Ένα αντιπαράδειγμα για το (γ) είναι η συνάρτηση \displaystyle{f\left( x \right) = {e^x}}, η οπoία είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, αλλά \displaystyle{f\left( \mathbb{R} \right) = \left( {0, + \infty } \right)}.

Για την απόδειξη του (β) υποθέτουμε, δίχως βλάβη της γενικότητας, ότι η f είναι αύξουσα με \displaystyle{f\left( \mathbb{R} \right) = \mathbb{R}}. Θα αποδείξουμε ότι η f είναι συνεχής στο \mathbb{R}. Έστω ότι η f είναι ασυνεχής στο x_0 \in \mathbb{R}. Τότε, από τη μονοτονία της f θα έχουμε ότι

\displaystyle{a: = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) < \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = :b,}

οπότε \displaystyle{f\left( x \right) \le a} για \displaystyle{x < {x_0}} και \displaystyle{f\left( x \right) \ge b} για \displaystyle{x > {x_0}} και άρα

\displaystyle{ \mathbb{R} = f\left(  \mathbb{R} \right) \subseteq \left( { - \infty ,a} \right] \cup \left\{ {f\left( {{x_0}} \right)} \right\} \cup \left[ {b, + \infty } \right),}

που είναι άτοπο. Άρα, η f είναι συνεχής στο \mathbb{R}.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης