IMC 2006/1/2

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2006/1/2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Μαρ 30, 2013 11:06 am

Να βρεθεί το πλήθος των θετικών ακεραίων n οι οποίοι ικανοποιούν τις συνθήκες

(α) n < 10^{2006} και
(β) Ο n^2 - n διαιρείται από τον 10^{2006}.


Άβαταρ μέλους
emouroukos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1417
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: IMC 2006/1/2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Σάβ Μαρ 30, 2013 6:18 pm

Εφόσον \displaystyle{{2^{2006}} \cdot {5^{2006}} = {10^{2006}}|n\left( {n - 1} \right)} και οι αριθμοί n και n-1 είναι σχετικά πρώτοι, θα έχουμε 4 περιπτώσεις:

\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{n \equiv 0\left( {\bmod {2^{2006}}} \right)}\\ 
{n \equiv 0\left( {\bmod {5^{2006}}} \right)} 
\end{array}} \right\}}, \displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{n \equiv 1\left( {\bmod {2^{2006}}} \right)}\\ 
{n \equiv 0\left( {\bmod {5^{2006}}} \right)} 
\end{array}} \right\}}, \displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{n \equiv 0\left( {\bmod {2^{2006}}} \right)}\\ 
{n \equiv 1\left( {\bmod {5^{2006}}} \right)} 
\end{array}} \right\}}, \displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{n \equiv 1\left( {\bmod {2^{2006}}} \right)}\\ 
{n \equiv 1\left( {\bmod {5^{2006}}} \right)} 
\end{array}} \right\}}.

Από το Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπων, καθένα από τα παραπάνω συστήματα γραμμικών ισοτιμιών έχει μοναδική λύση στο σύνολο \displaystyle{\left\{ {0,1,2, \ldots {{,10}^{2006}} - 1} \right\}.} Οι τέσσερις αυτές λύσεις είναι διαφορετικές ανά δύο, γιατί δεν είναι ισότιμες \displaystyle{\bmod {2^{2006}}} ή \displaystyle{\bmod {5^{2006}}}. Εξαιρώντας το 0, που είναι λύση του πρώτου συαστήματος, βρίσκουμε ότι υπάρχουν ακριβώς 3 θετικοί ακέραιοι n που ικανοποιούν τις δοσμένες συνθήκες.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης