IMC 2006/2/2

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2006/2/2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Απρ 13, 2013 11:46 am

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} έτσι ώστε για κάθε πραγματικούς αριθμούς a < b η εικόνα του [a,b] να είναι ένα κλειστό διάστημα μήκους b-a.


Bern
Δημοσιεύσεις: 45
Εγγραφή: Κυρ Απρ 07, 2013 12:26 am

Re: IMC 2006/2/2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Bern » Κυρ Απρ 14, 2013 1:57 am

Θα δειξουμε ότι η f είναι ισομετρία στο \mathbb R, δηλ. |f(t)-f(s)|=|t-s| για κάθε  t, s\in \mathbb R (άρα  είτε f(x)=x+a  ή  f(x)=-x+a  για κάποια σταθερά a\in \mathbb R).

Από την υπόθεση έχεις ότι η f είναι 1-Lipschitz  συνεχής: |f(t)-f(s)|\leqslant |t-s|. Δείχνεις την ισότητα ως εξής: Σταθεροποίησε δυο t<s. Τότε, υπάρχουν a,b\in [t,s] ώστε |t-s|=|\max_{[t,s]} f-\min_{[t,s]} f|=|f(a)-f(b)|\leqslant |a-b|\leqslant |t-s|. Αυτό σημαίνει ότι a,b\in \{t,s\} κι έχεις το ζητούμενο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες