IMC 2006/2/3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2006/2/3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Απρ 13, 2013 11:50 am

Να συγκριθούν τα \tan(\sin x) και \sin(\tan x) για κάθε x \in (0, \pi ).


Άβαταρ μέλους
emouroukos
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1389
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: IMC 2006/2/3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Δευ Μάιος 06, 2013 4:51 pm

Θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle{f\left( x \right) = \tan \left( {\sin x} \right) - \sin \left( {\tan x} \right)}, με \displaystyle{x \in \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right)}.

Για \displaystyle{x \in \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right)}, έχουμε ότι:

\displaystyle{f'\left( x \right) = \frac{{\cos x}}{{{{\cos }^2}\left( {\sin x} \right)}} - \frac{{\cos \left( {\tan x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{{{\cos }^3}x - {{\cos }^2}\left( {\sin x} \right) \cdot \cos \left( {\tan x} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {\sin x} \right) \cdot {{\cos }^2}x}}} \bf \color{red} \left(1 \right).

Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση \displaystyle{g\left( x \right) = \ln \left( {\cos x} \right)} είναι γνησίως φθίνουσα και κοίλη στο \displaystyle{ \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right)} (αφού \displaystyle{g'\left( x \right) =  - \tan x} και \displaystyle{g''\left( x \right) =  - {\sec ^2}x} για κάθε \displaystyle{x \in \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right)}).

Χρησιμοποιώντας τη γνωστή ανισότητα

\displaystyle{2\sin x + 3\tan x \ge 3x}

για κάθε \displaystyle{x \in \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right)}, με το ίσον να ισχύει μόνο αν \displaystyle{x = 0} (βλ. Σχολικό Βιβλίο Μαθηματικών Κατεύθυνσης Γ΄Λυκείου, άσκηση 8, σελ. 258) και την ανισότητα Jensen έχουμε ότι για κάθε \displaystyle{x \in \left( {0,\arctan \left( {\frac{\pi }{2}} \right)} \right)} ισχύει

\displaystyle{g\left( x \right) > g\left( {\frac{{2\sin x + \tan x}}{3}} \right) > \frac{{2g\left( {\sin x} \right) + g\left( {\tan x} \right)}}{3}}

και άρα

\displaystyle{3g\left( x \right) > 2g\left( {\sin x} \right) + g\left( {\tan x} \right) \Leftrightarrow 3\ln \left( {\cos x} \right) > 2\ln \left( {\cos \left( {\sin x} \right)} \right) + \ln \left( {\cos \left( {\tan x} \right)} \right) \Leftrightarrow }

\displaystyle{ \Leftrightarrow \ln \left( {{{\cos }^3}x} \right) > \ln \left( {{{\cos }^2}\left( {\sin x} \right) \cdot \cos \left( {\tan x} \right)} \right) \Leftrightarrow {\cos ^3}x > {\cos ^2}\left( {\sin x} \right) \cdot \cos \left( {\tan x} \right).}

Επομένως, είναι \displaystyle{f'\left( x \right) > 0} για κάθε \displaystyle{x \in \left( {0,\arctan \left( {\frac{\pi }{2}} \right)} \right)}, οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{\left[ {0,\arctan\left( {\frac{\pi }{2}} \right)} \right)} και άρα \displaystyle{f\left( x \right) > f\left( 0 \right) = 0} για κάθε \displaystyle{x \in \left( {0,\arctan \left( {\frac{\pi }{2}} \right)} \right)}.

Αν \displaystyle{x \in \left[ {\arctan \left( {\frac{\pi }{2}} \right),\frac{\pi }{2}} \right)}, τότε είναι (αφού \displaystyle{{{\pi ^2} + 4 < 16}}):

\displaystyle{\tan \left( {\sin x} \right) \ge \tan \left( {\sin \left( {\arctan \left( {\frac{\pi }{2}} \right)} \right)} \right) = \tan \left( {\frac{{\frac{\pi }{2}}}{{\sqrt {1 + \frac{{{\pi ^2}}}{4}} }}} \right) = \tan \left( {\frac{\pi }{{\sqrt {{\pi ^2} + 4} }}} \right) > \tan \left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 1 \ge \sin \left( {\tan x} \right)}.

Τέλος, έστω \displaystyle{{x_0} = \arctan \left( \pi  \right) \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)}. Παρατηρούμε ότι \displaystyle{\sin \left( {\tan x } \right) > \sin \left( {\tan {x_0} } \right) = \sin \pi  = 0} για κάθε [\displaystyle{x \in \left( {0,{x_0}} \right)} και άρα για τον αριθμό \displaystyle{\pi  - {x_0} \in \left( {\frac{\pi }{2},\pi } \right)} θα έχουμε ότι

\displaystyle{\sin \left( {\tan x} \right) < \sin \left( {\tan \left( {\pi  - {x_0}} \right)} \right) =  - \sin \left( {\tan {x_0}} \right) =  - \sin \pi  = 0}

για κάθε \displaystyle{x \in \left( {\pi  - {x_0},\pi } \right)}. Έτσι, έχουμε ότι:

\bullet Για \displaystyle{x \in \left( {\pi  - {x_0},\pi } \right)}, είναι \displaystyle{\tan \left( {\sin x} \right) > 0 > \sin \left( {\tan x} \right)}.

\bullet Για \displaystyle{x \in \left( {\frac{\pi }{2},\pi  - {x_0}} \right]}, είναι

\displaystyle{\tan \left( {\sin x} \right) \ge \tan \left( {\sin \left( {\pi  - {x_0}} \right)} \right) = \tan \left( {\sin {x_0}} \right) = \tan \left( {\frac{\pi }{{\sqrt {1 + {\pi ^2}} }}} \right) > \tan \frac{\pi }{4} = 1 \ge \sin \left( {\tan x} \right).}

Ώστε, \displaystyle{\boxed{\tan \left( {\sin x} \right) > \sin \left( {\tan x} \right)}} για κάθε \displaystyle{x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right) \cup \left( {\frac{\pi }{2},\pi } \right)}.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
kostas_zervos
Δημοσιεύσεις: 1156
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 25, 2010 8:26 am
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: IMC 2006/2/3

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas_zervos » Σάβ Μάιος 11, 2013 1:48 am

Θα δώσω μια άλλη λύση (με μερικές διαφορές από του Βαγγέλη)

Αφού \displaystyle 0<\frac{\pi}{4}<1 , θα υπάρχει \displaystyle x_0\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) ώστε \displaystyle \sin x_0=\frac{\pi}{4}.

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις :
\displaystyle\color{red} \bullet x=x_0:
Τότε \displaystyle\tan(\sin x_0)=\tan\frac{\pi}{4}=1 και \displaystyle\sin(\tan x_0)=\sin\left(\frac{\sin x_0}{\cos x_0}\right)=\sin\left(\frac{\displaystyle\frac{\pi}{4}}{\displaystyle\sqrt{1-\frac{\pi^2}{16}}}\right)<\sin\frac{\pi}{2}=1 , άρα \tan(\sin x_0)>\sin(tan x_0).
\displaystyle\color{red} \bullet x_0<x<\frac{\pi}{2} :
Τότε λόγω της μονοτονίας της \sin x έχουμε \displaystyle\sin x>\sin x_0 \Leftrightarrow\sin x>\frac{\pi}{4} και λόγω της μονοτονίας της \tan x (αφού \displaystyle \sin x\;,\;\frac{\pi}{4}\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)) θα έχουμε \displaystyle\tan(\sin x)>\tan\frac{\pi}{4} \Leftrightarrow \tan(\sin x)>1\geq \sin(\tan x) , άρα \tan(\sin x)>\sin(\tan x).
\displaystyle\color{red} \bullet \frac{\pi}{2}<x<\pi-x_0 :

Αφού x<\pi-x_0 και η \sin x είναι γνησίως φθίνουσα στο \displaystyle\left(0,\frac{\pi}{2}\right) , θα έχουμε \displaystyle\sin x>\sin(\pi-x_0) \Leftrightarrow \sin x>\sin x_0 \Leftrightarrow \sin x>\frac{\pi}{4} και λόγω της μονοτονίας της \tan x (αφού \displaystyle \sin x\;,\;\frac{\pi}{4}\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)) θα έχουμε \displaystyle\tan(\sin x)>\tan\frac{\pi}{4} \Leftrightarrow \tan(\sin x)>1\geq \sin(\tan x) , άρα \tan(\sin x)>\sin(\tan x).
\displaystyle\color{red} \bullet \pi-x_0\leq x<\pi :
Τότε \sin(\pi-x_0)\geq \sin x>\sin \pi , άρα \displaystyle 0<\sin x\leq \frac{\pi}{4} και λόγω της μονοτονίας της \tan x (αφού \displaystyle \sin x\;,\;\frac{\pi}{4}\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)) θα έχουμε 0<\tan(\sin x)\leq 1.
Επίσης \tan(\pi-x_0)\leq \tan x<\tan \pi \Leftrightarrow -\tan x_0\leq \tan x<0
\displaystyle \Leftrightarrow -\frac{\pi}{2}<-\frac{\displaystyle\frac{\pi}{4}}{\displaystyle\sqrt{1-\frac{\pi^2}{16}}}\leq \tan x<0, άρα \sin(\tan x)<0.
Επομένως \tan(\sin x)>0>\sin(\tan x).
\displaystyle\color{red} \bullet 0<x<x_0 :
Έστω η συνάρτηση \displaystyle f(x)=\tan(\sin x)-\sin(\tan x)\;,\;0\leq x<x_0 η οποία είναι συνεχής στο \displaystyle \left[0,x_0\right) και \displaystyle f'(x)=\dots=\frac{\cos^3x-\cos(\tan x)\cdot\cos^2(\sin x)}{\cos^2x\cdot\cos^2(\sin x)} .

Θα αποδείξουμε ότι f'(x)>0 για κάθε x\in(0,x_0).
Άρα αρκεί να δείξουμε ότι \cos^3x>\cos(\tan x)\cdot\cos^2(\sin x).
Έχουμε ότι \displaystyle \left(\frac{\cos(\tan x)+\cos(\sin x)+\cos(\sin x)}{3}\right)^3\geq \cos(\tan x)\cdot\cos(\sin x)\cdot\cos(\sin x) και η ισότητα ισχύει όταν \cos(\tan x)=\cos(\sin x) που είναι αδύνατο , αφού για 0<x<x_0 ισχύει ότι \sin x<x<\tan x , άρα \cos(\tan x)<\cos(\sin x).

Επομένως \displaystyle \left(\frac{\cos(\tan x)+2\cos(\sin x)}{3}\right)^3>\cos(\tan x)\cdot\cos^2(\sin x) (1).

Η συνάρτηση g(x)=\cos x είναι κοίλη στο (0,x_0) , άρα \displaystyle g\left(\frac{x+y+z}{3}\right)\geq \frac{g(x)+g(y)+g(z)}{3} , x,y,x\in(0,x_0).
Άρα \displaystyle \cos\left(\frac{\tan x+2\sin x}{3}\right)\geq \frac{\cos(\tan x)+2\cos(\sin x)}{3} (2).

Τέλος \displaystyle \frac{\tan x+2\sin x}{3}>x για 0<x<x_0 (απόδειξη εύκολη με μονοτονία) , και αφού η \cos x είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,x_0) , θα έχουμε \displaystyle \cos\left(\frac{\tan x+2\sin x}{3}\right)<\cos x (3).

Από τις (1) , (2) , (3) έχουμε \cos^3x>\cos(\tan x)\cdot\cos^2(\sin x) , άρα f'(x)>0 , δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο [0,x_0) , έτσι για 0<x<x_0 έχουμε f(x)>f(0)=0.
Επομένως \tan(\sin x)>\sin(\tan x).

Έτσι για κάθε \displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2},\pi\right) ισχύει ότι \tan(\sin x)>0>\sin(\tan x).

Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις των \color{red}y=\tan(\sin x) και \color{blue}y=\sin(\tan x):
ask30.png
ask30.png (5.27 KiB) Προβλήθηκε 253 φορές


Κώστας Ζερβός
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες