IMC 2006/2/3

Να συγκριθούν τα $\tan(\sin x)$ και $\sin(\tan x)$ για κάθε $x \in (0, \pi )$ .

Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f\left( x \right) = \tan \left( {\sin x} \right) - \sin \left( {\tan x} \right)}$ , με $\displaystyle{x \in \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right)}$ .

Για $\displaystyle{x \in \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right)}$ , έχουμε ότι:

$\displaystyle{f'\left( x \right) = \frac{{\cos x}}{{{{\cos }^2}\left( {\sin x} \right)}} - \frac{{\cos \left( {\tan x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{{{\cos }^3}x - {{\cos }^2}\left( {\sin x} \right) \cdot \cos \left( {\tan x} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {\sin x} \right) \cdot {{\cos }^2}x}}}$ $\bf \color{red} \left(1 \right)$ .

Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{g\left( x \right) = \ln \left( {\cos x} \right)}$ είναι γνησίως φθίνουσα και κοίλη στο $\displaystyle{ \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right)}$ (αφού $\displaystyle{g'\left( x \right) = - \tan x}$ και $\displaystyle{g''\left( x \right) = - {\sec ^2}x}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right)}$ ).

Χρησιμοποιώντας τη γνωστή ανισότητα

$\displaystyle{2\sin x + 3\tan x \ge 3x}$

για κάθε $\displaystyle{x \in \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right)}$ , με το ίσον να ισχύει μόνο αν $\displaystyle{x = 0}$ (βλ. Σχολικό Βιβλίο Μαθηματικών Κατεύθυνσης Γ΄Λυκείου, άσκηση 8, σελ. 258) και την ανισότητα Jensen έχουμε ότι για κάθε $\displaystyle{x \in \left( {0,\arctan \left( {\frac{\pi }{2}} \right)} \right)}$ ισχύει

$\displaystyle{g\left( x \right) > g\left( {\frac{{2\sin x + \tan x}}{3}} \right) > \frac{{2g\left( {\sin x} \right) + g\left( {\tan x} \right)}}{3}}$

και άρα

$\displaystyle{3g\left( x \right) > 2g\left( {\sin x} \right) + g\left( {\tan x} \right) \Leftrightarrow 3\ln \left( {\cos x} \right) > 2\ln \left( {\cos \left( {\sin x} \right)} \right) + \ln \left( {\cos \left( {\tan x} \right)} \right) \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow \ln \left( {{{\cos }^3}x} \right) > \ln \left( {{{\cos }^2}\left( {\sin x} \right) \cdot \cos \left( {\tan x} \right)} \right) \Leftrightarrow {\cos ^3}x > {\cos ^2}\left( {\sin x} \right) \cdot \cos \left( {\tan x} \right).}$

Επομένως, είναι $\displaystyle{f'\left( x \right) > 0}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \left( {0,\arctan \left( {\frac{\pi }{2}} \right)} \right)}$ , οπότε η

είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\left[ {0,\arctan\left( {\frac{\pi }{2}} \right)} \right)}$ και άρα $\displaystyle{f\left( x \right) > f\left( 0 \right) = 0}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \left( {0,\arctan \left( {\frac{\pi }{2}} \right)} \right)}$ .

Αν $\displaystyle{x \in \left[ {\arctan \left( {\frac{\pi }{2}} \right),\frac{\pi }{2}} \right)}$ , τότε είναι (αφού $\displaystyle{{{\pi ^2} + 4 < 16}}$ ):

$\displaystyle{\tan \left( {\sin x} \right) \ge \tan \left( {\sin \left( {\arctan \left( {\frac{\pi }{2}} \right)} \right)} \right) = \tan \left( {\frac{{\frac{\pi }{2}}}{{\sqrt {1 + \frac{{{\pi ^2}}}{4}} }}} \right) = \tan \left( {\frac{\pi }{{\sqrt {{\pi ^2} + 4} }}} \right) > \tan \left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 1 \ge \sin \left( {\tan x} \right)}.$

Τέλος, έστω $\displaystyle{{x_0} = \arctan \left( \pi \right) \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)}$ . Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{\sin \left( {\tan x } \right) > \sin \left( {\tan {x_0} } \right) = \sin \pi = 0}$ για κάθε [ $\displaystyle{x \in \left( {0,{x_0}} \right)}$ και άρα για τον αριθμό $\displaystyle{\pi - {x_0} \in \left( {\frac{\pi }{2},\pi } \right)}$ θα έχουμε ότι

$\displaystyle{\sin \left( {\tan x} \right) < \sin \left( {\tan \left( {\pi - {x_0}} \right)} \right) = - \sin \left( {\tan {x_0}} \right) = - \sin \pi = 0}$

για κάθε $\displaystyle{x \in \left( {\pi - {x_0},\pi } \right)}$ . Έτσι, έχουμε ότι:

$\bullet$ Για $\displaystyle{x \in \left( {\pi - {x_0},\pi } \right)}$ , είναι $\displaystyle{\tan \left( {\sin x} \right) > 0 > \sin \left( {\tan x} \right)}$ .

$\bullet$ Για $\displaystyle{x \in \left( {\frac{\pi }{2},\pi - {x_0}} \right]}$ , είναι

$\displaystyle{\tan \left( {\sin x} \right) \ge \tan \left( {\sin \left( {\pi - {x_0}} \right)} \right) = \tan \left( {\sin {x_0}} \right) = \tan \left( {\frac{\pi }{{\sqrt {1 + {\pi ^2}} }}} \right) > \tan \frac{\pi }{4} = 1 \ge \sin \left( {\tan x} \right).}$

Ώστε, $\displaystyle{\boxed{\tan \left( {\sin x} \right) > \sin \left( {\tan x} \right)}}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right) \cup \left( {\frac{\pi }{2},\pi } \right)}$ .

kostas_zervos

Θα δώσω μια άλλη λύση (με μερικές διαφορές από του Βαγγέλη)

Αφού $\displaystyle 0<\frac{\pi}{4}<1$ , θα υπάρχει $\displaystyle x_0\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ ώστε $\displaystyle \sin x_0=\frac{\pi}{4}$ .

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις :
$\displaystyle\color{red} \bullet x=x_0:$
Τότε $\displaystyle\tan(\sin x_0)=\tan\frac{\pi}{4}=1$ και $\displaystyle\sin(\tan x_0)=\sin\left(\frac{\sin x_0}{\cos x_0}\right)=\sin\left(\frac{\displaystyle\frac{\pi}{4}}{\displaystyle\sqrt{1-\frac{\pi^2}{16}}}\right)<\sin\frac{\pi}{2}=1$ , άρα $\tan(\sin x_0)>\sin(tan x_0)$ .
$\displaystyle\color{red} \bullet x_0<x<\frac{\pi}{2} :$
Τότε λόγω της μονοτονίας της $\sin x$ έχουμε $\displaystyle\sin x>\sin x_0 \Leftrightarrow\sin x>\frac{\pi}{4}$ και λόγω της μονοτονίας της $\tan x$ (αφού $\displaystyle \sin x\;,\;\frac{\pi}{4}\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ ) θα έχουμε $\displaystyle\tan(\sin x)>\tan\frac{\pi}{4} \Leftrightarrow \tan(\sin x)>1\geq \sin(\tan x)$ , άρα $\tan(\sin x)>\sin(\tan x)$ .
$\displaystyle\color{red} \bullet \frac{\pi}{2}<x<\pi-x_0 :$

Αφού $x<\pi-x_0$ και η $\sin x$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ , θα έχουμε $\displaystyle\sin x>\sin(\pi-x_0) \Leftrightarrow \sin x>\sin x_0 \Leftrightarrow \sin x>\frac{\pi}{4}$ και λόγω της μονοτονίας της $\tan x$ (αφού $\displaystyle \sin x\;,\;\frac{\pi}{4}\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ ) θα έχουμε $\displaystyle\tan(\sin x)>\tan\frac{\pi}{4} \Leftrightarrow \tan(\sin x)>1\geq \sin(\tan x)$ , άρα $\tan(\sin x)>\sin(\tan x)$ .
$\displaystyle\color{red} \bullet \pi-x_0\leq x<\pi :$
Τότε $\sin(\pi-x_0)\geq \sin x>\sin \pi$ , άρα $\displaystyle 0<\sin x\leq \frac{\pi}{4}$ και λόγω της μονοτονίας της $\tan x$ (αφού $\displaystyle \sin x\;,\;\frac{\pi}{4}\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ ) θα έχουμε $0<\tan(\sin x)\leq 1$ .
Επίσης $\tan(\pi-x_0)\leq \tan x<\tan \pi \Leftrightarrow -\tan x_0\leq \tan x<0$
$\displaystyle \Leftrightarrow -\frac{\pi}{2}<-\frac{\displaystyle\frac{\pi}{4}}{\displaystyle\sqrt{1-\frac{\pi^2}{16}}}\leq \tan x<0$ , άρα $\sin(\tan x)<0$ .
Επομένως $\tan(\sin x)>0>\sin(\tan x)$ .
$\displaystyle\color{red} \bullet 0<x<x_0 :$
Έστω η συνάρτηση $\displaystyle f(x)=\tan(\sin x)-\sin(\tan x)\;,\;0\leq x<x_0$ η οποία είναι συνεχής στο $\displaystyle \left[0,x_0\right)$ και $\displaystyle f'(x)=\dots=\frac{\cos^3x-\cos(\tan x)\cdot\cos^2(\sin x)}{\cos^2x\cdot\cos^2(\sin x)}$ .

Θα αποδείξουμε ότι f'(x)>0

για κάθε $x\in(0,x_0)$ .
Άρα αρκεί να δείξουμε ότι $\cos^3x>\cos(\tan x)\cdot\cos^2(\sin x)$ .
Έχουμε ότι $\displaystyle \left(\frac{\cos(\tan x)+\cos(\sin x)+\cos(\sin x)}{3}\right)^3\geq \cos(\tan x)\cdot\cos(\sin x)\cdot\cos(\sin x)$ και η ισότητα ισχύει όταν $\cos(\tan x)=\cos(\sin x)$ που είναι αδύνατο , αφού για 0<x<x_0

ισχύει ότι $\sin x<x<\tan x$ , άρα $\cos(\tan x)<\cos(\sin x)$ .

Επομένως $\displaystyle \left(\frac{\cos(\tan x)+2\cos(\sin x)}{3}\right)^3>\cos(\tan x)\cdot\cos^2(\sin x)$ (1).

Η συνάρτηση $g(x)=\cos x$ είναι κοίλη στο (0,x_0)

, άρα $\displaystyle g\left(\frac{x+y+z}{3}\right)\geq \frac{g(x)+g(y)+g(z)}{3}$ , $x,y,x\in(0,x_0)$ .
Άρα $\displaystyle \cos\left(\frac{\tan x+2\sin x}{3}\right)\geq \frac{\cos(\tan x)+2\cos(\sin x)}{3}$ (2).

Τέλος $\displaystyle \frac{\tan x+2\sin x}{3}>x$ για 0<x<x_0

(απόδειξη εύκολη με μονοτονία) , και αφού η $\cos x$ είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,x_0)

, θα έχουμε $\displaystyle \cos\left(\frac{\tan x+2\sin x}{3}\right)<\cos x$ (3).

Από τις (1) , (2) , (3) έχουμε $\cos^3x>\cos(\tan x)\cdot\cos^2(\sin x)$ , άρα f'(x)>0

, δηλαδή η

είναι γνησίως αύξουσα στο [0,x_0)

, έτσι για 0<x<x_0

έχουμε

.
Επομένως $\tan(\sin x)>\sin(\tan x)$ .

Έτσι για κάθε $\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$ ισχύει ότι $\tan(\sin x)>0>\sin(\tan x)$ .

Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις των $\color{red}y=\tan(\sin x)$ και $\color{blue}y=\sin(\tan x)$ :

: ask30.png (5.27 KiB) Προβλήθηκε 253 φορές

IMC 2006/2/3

IMC 2006/2/3

Re: IMC 2006/2/3

Re: IMC 2006/2/3

Μέλη σε σύνδεση