Θα δώσω μια άλλη λύση (με μερικές διαφορές από του Βαγγέλη)
Αφού

, θα υπάρχει

ώστε

.
Διακρίνουμε τις περιπτώσεις :

Τότε

και

, άρα

.

Τότε λόγω της μονοτονίας της

έχουμε

και λόγω της μονοτονίας της

(αφού

) θα έχουμε

, άρα

.
Αφού

και η

είναι γνησίως φθίνουσα στο

, θα έχουμε

και λόγω της μονοτονίας της

(αφού

) θα έχουμε

, άρα

.

Τότε

, άρα

και λόγω της μονοτονίας της

(αφού

) θα έχουμε

.
Επίσης

, άρα

.
Επομένως

.

Έστω η συνάρτηση

η οποία είναι συνεχής στο

και

.
Θα αποδείξουμε ότι

για κάθε

.
Άρα αρκεί να δείξουμε ότι

.
Έχουμε ότι

και η ισότητα ισχύει όταν

που είναι αδύνατο , αφού για

ισχύει ότι

, άρα

.
Επομένως

(1).
Η συνάρτηση

είναι κοίλη στο

, άρα

,

.
Άρα

(2).
Τέλος

για

(απόδειξη εύκολη με μονοτονία) , και αφού η

είναι γνησίως φθίνουσα στο

, θα έχουμε

(3).
Από τις (1) , (2) , (3) έχουμε

, άρα

, δηλαδή η

είναι γνησίως αύξουσα στο

, έτσι για

έχουμε

.
Επομένως

.
Έτσι για κάθε

ισχύει ότι

.
Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις των

και

:

- ask30.png (5.27 KiB) Προβλήθηκε 282 φορές