IMC 2013/1/2

Συντονιστής: Demetres

Eukleidis
Δημοσιεύσεις: 669
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 01, 2009 9:55 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

IMC 2013/1/2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Eukleidis » Πέμ Αύγ 08, 2013 4:17 pm

Έστω \displaystyle{f:{\Cal R} \to {\Cal R}} δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση με \displaystyle{f\left( 0 \right) = 0}. Να αποδείξετε ότι υπάρχει \displaystyle{\xi  \in \left( { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right)} τέτοιο ώστε \displaystyle{f''\left( \xi  \right) = f\left( \xi  \right)\left( {1 + 2{{\tan }^2}\xi } \right)}.


Γιώργος
kostas_zervos
Δημοσιεύσεις: 1156
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 25, 2010 8:26 am
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: IMC 2013/1/2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas_zervos » Πέμ Αύγ 08, 2013 7:02 pm

Eukleidis έγραψε:Έστω \displaystyle{f:{\Cal R} \to {\Cal R}} δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση με \displaystyle{f\left( 0 \right) = 0}. Να αποδείξετε ότι υπάρχει \displaystyle{\xi  \in \left( { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right)} τέτοιο ώστε \displaystyle{f''\left( \xi  \right) = f\left( \xi  \right)\left( {1 + 2{{\tan }^2}\xi } \right)}.
Έστω η συνάρτηση h(x)=\dfrac{f'(x)\cos x-f(x)\sin x}{\cos^2 x}\;,\;x\in\left(- \dfrac{\pi }{2},\dfrac{\pi }{2} \right).

Η h είναι παραγωγίσιμη στο \left(- \dfrac{\pi }{2},\dfrac{\pi }{2} \right) με

h'(x)=\cdots=\dfrac{f''(x)-f(x)-2f(x)\tan^2x}{\cos x}

Έστω ότι h'(x)\neq 0\;\forall x\in \left(- \dfrac{\pi }{2},\dfrac{\pi }{2} \right) , τότε η h'(x) θα διατηρεί σταθερό πρόσημο (διαφορετικά από το Θ. Darboux θα υπάρχει x_0\in \left(- \dfrac{\pi }{2},\dfrac{\pi }{2} \right) ώστε h'(x_0)=0).

Έστω ότι h'(x)>0\;,\forall x\in \left(- \dfrac{\pi }{2},\dfrac{\pi }{2} \right) , τότε για κάθε 0<x<\dfrac{\pi}{2} θα έχουμε h(x)>h(0)\iff f'(x)\cos x-f(x)\sin x>f'(0) και για κάθε -\dfrac{\pi}{2}<x<0 έχουμε h(x)<h(0)\iff f'(x)\cos x-f(x)\sin x<f'(0).

Αν g(x)=f(x)\cos x-f'(0)x , τότε g'(x)=f'(x)\cos x-f(x)\sin x-f'(0) και g'(x)>0 για κάθε 0<x<\dfrac{\pi}{2} , g'(x)<0 για κάθε -\dfrac{\pi}{2}<x<0 , επομένως έχουμε ελάχιστο στο x=0 , άρα g(x)\geq g(0)\iff \cos x f(x)\geq f'(0)x\;,\;\forall x\in\left(- \dfrac{\pi }{2},\dfrac{\pi }{2} \right)

Έτσι \displaystyle \lim_{x\to\frac{\pi}{2}^-}\cos xf(x)\geq \lim_{x\to\frac{\pi}{2}^-}f'(0)x\iff f'(0)\leq 0 (αφού f συνεχής στο\mathbb{R})

και \displaystyle \lim_{x\to-\frac{\pi}{2}^+}\cos xf(x)\geq \lim_{x\to-\frac{\pi}{2}^+}f'(0)x\iff f'(0)\geq 0 (αφού f συνεχής στο \mathbb{R})

Άρα f'(0)=0 , επομένως f(x)\geq 0\;,\;\forall x\in\left(- \dfrac{\pi }{2},\dfrac{\pi }{2} \right) και η ισότητα ισχύει μόνο στο x=0 .

Λόγω της συνέχειας της f στο \mathbb{R} θα είναι \displaystyle \lim_{x\to\pm\frac{\pi}{2}^+}f(x)>0.

Επίσης \displaystyle \lim_{x\to\frac{\pi}{2}^-}h(x)=\lim_{x\to\frac{\pi}{2}^-}\left({f'(x)\cos x-f(x)\sin x\right)\dfrac{1}{\cos^2x}=-\infty και

\displaystyle \lim_{x\to-\frac{\pi}{2}^+}h(x)=\lim_{x\to-\frac{\pi}{2}^+}\left({f'(x)\cos x-f(x)\sin x\right)\dfrac{1}{\cos^2x}=+\infty

Που είναι άτοπο , αφού η h είναι γνησίως αύξουσα στο \left(- \dfrac{\pi }{2},\dfrac{\pi }{2} \right).

Όμοια αν h'(x)<0\;,\;\forall x\in \left(- \dfrac{\pi }{2},\dfrac{\pi }{2} \right)
Άρα υπάρχει \xi\in\left(- \dfrac{\pi }{2},\dfrac{\pi }{2} \right) ώστε h'(\xi)=0\iff f''(\xi)=f(\xi)\left(1+2\tan^2\xi\right).


Κώστας Ζερβός
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2277
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: IMC 2013/1/2

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Δευ Σεπ 29, 2014 10:35 am

Συγνωμη Λάθος


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες