IMC 2013/1/5

Συντονιστής: Demetres

Eukleidis
Δημοσιεύσεις: 667
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 01, 2009 9:55 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

IMC 2013/1/5

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Eukleidis » Πέμ Αύγ 08, 2013 4:26 pm

Υπάρχει μιγαδική ακολουθία \displaystyle{\left( {{a_n}} \right)} τέτοια ώστε για κάθε θετικό ακέραιο αριθμό \displaystyle{p} η σειρά \displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {a_n^p} } συγκλίνει αν και μόνο αν ο \displaystyle{p} δεν είναι πρώτος;


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC 2013/1/5

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Αύγ 08, 2013 8:15 pm

Ίσως κάποιες ιδέες από εδώ να δουλεύουν;


Alex1994
Δημοσιεύσεις: 80
Εγγραφή: Τρί Μαρ 15, 2011 7:48 pm

Re: IMC 2013/1/5

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Alex1994 » Κυρ Αύγ 18, 2013 2:47 pm

Η κατασκευή που βρήκα στον διαγωνισμό:

Αρχικά απαριθμούμε τους πρώτους p_1=2, p_2=3, ... και μετά απαριθμούμε τα ζευγάρια (p_m, n) ως εξής: πρώτα επιλέγουμε το (p_1, 1) και μετά επιλέγουμε ένα ζεύγος (p_m, n) που δεν έχει επιλεχθεί ώστε m+n ελάχιστο.
Τώρα, κατασκευάζουμε blocks από όρους της μορφής (\frac{\omega_{p}^m}{n^{1/p}p^2}), m=0, 1, 2, ..., p-1. Τότε, παρατηρούμε ότι αν gcd(k,p)=1 τότε το άθροισμα των k δυνάμεων κάθε block (p,n) είναι 0, και αν p|k είναι \frac{1}{n^{k/p} p^{2k-1}}.
Τώρα, παρατηρούμε ότι το άθροισμα των k-δυνάμεων για τα blocks είναι θετικό και λιγότερο από l*\zeta (2) αν ο k δεν είναι πρώτος και έχει l πρώτους διαιρέτες (διοτι k/p \geq 2), και αν ο n είναι πρώτος αποκλείνουν στο άπειρο διότι η αρμονική σειρά αποκλίνει.
Μένει να δείξουμε ότι τα ενδιάμεσα μερικά αθροίσματα δεν διαφέρουν πολύ από τα μερικά block sums. Εύκολα βλέπουμε ότι η διαφορά ενός μερικού αθροίσματος από το αμέσως προηγούμενο block sum με τελευταίο block (p,n) είναι \frac{1}{n^{k/p} p^{2k-1}}, οπότε καθώς πάμε στο άπειρο είτε ο p ή ο n^{1/p} θα είναι πολύ μεγάλοι, οπότε το σφάλμα τείνει στο μηδέν.
Άρα η σειρά συγκλίνει καθώς τα μερικά αθροίσματα σχηματίζουν ακολουθία Cauchy όταν τα block sums συγκλίνουν, οπότε η δωσμένη σειρά συγκλίνει αν και μόνο αν k δεν είναι πρώτος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης