IMC 2013/2/1

Συντονιστής: Demetres

Eukleidis
Δημοσιεύσεις: 669
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 01, 2009 9:55 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

IMC 2013/2/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Eukleidis » Παρ Αύγ 09, 2013 4:34 pm

Έστω μιγαδικός αριθμός \displaystyle{z} με \displaystyle{\left| {z + 1} \right| > 2}. Να δείξετε ότι \displaystyle{\left| {{z^3} + 1} \right| > 1}.


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Peking University, Πεκίνο

Re: IMC 2013/2/1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Παρ Αύγ 09, 2013 6:43 pm

Απογοητευτικός ο φετινός IMC για όλα τα μέλη των Ελληνικών ομάδων. Δύσκολα θέματα με παγίδες που σε αποπροσανατόλιζαν και έχανες έτσι εύκολα μονάδες.

Η λύση μου στο θέμα αυτό χρησιμοποιεί στοιχειώδη μιγαδική ανάλυση, και δυστυχώς δε βλέπω πως μπορούμε να την αποφύγουμε χωρίς να μπλέξουμε με υπερβολικά πολλές πράξεις.

Συνοπτικά:

1ο βήμα: Επειδή η συνάρτηση προς ελαχιστοποίηση είναι πολυώνυμο, έξω από κάποιο πολύ μεγάλο δίσκο με κέντρο το -1 θα έχει σίγουρα τιμές μεγαλύτερες από αυτές που έχει στον κύκλο αυτό αλλά με ακτίνα 2. Επιπλέον, εκτός του δίσκου αυτού θα έχει μεγαλύτερες τιμές από 1 και αρκεί να λυθεί το πρόβλημα εντός αυτού. Επίσης οι ρίζες του είναι ρίζες της μονάδας επί -1 και εύκολα μπορούμε να δούμε ότι δεν ανήκουν στον κλειστό δακτύλιο που ορίζουν οι παραπάνω δύο κύκλοι. Άρα ως ολόμορφη μη σταθερή συνάρτηση που δεν μηδενίζεται στον κλειστό δίσκο, θα έχει ελάχιστο αυστηρά στο σύνορο και λόγο των παραπάνω αυτό θα είναι στον μικρό κύκλο, οπότε αν αυτό είναι τουλάχιστον 1 έχουμε τελειώσει.

2ο βήμα: θέτουμε z+1 = u + \frac{3}{2} και με παραγοντοποίηση και χρήση του |u + \frac{3}{2}| = 2 και μια απλή συπμλήρωση τετραγώνου, αναγώμαστε στο: |u^2 + \frac{3}{4}| \geq \frac{1}{2} κάτω από την παραπάνω συνθήκη.

3ο βήμα: υψώνουμε στο τετράγωνο συνθήκη και ανισότητα προς απόδειξη, θέτουμε u = x + yi και μετά από αντικατάσταση του y^2 από τη συνθήκη, λίγες πράξεις και απλοποιήσεις, προκείπτει (2x - \frac{1}{2})^2 \geq 0 που ισχύει.

Edit: διορθώθηκε τυπογραφικό
τελευταία επεξεργασία από Nick1990 σε Δευ Αύγ 12, 2013 12:39 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
kostas_zervos
Δημοσιεύσεις: 1156
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 25, 2010 8:26 am
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: IMC 2013/2/1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas_zervos » Κυρ Αύγ 11, 2013 11:12 am

Eukleidis έγραψε:Έστω μιγαδικός αριθμός \displaystyle{z} με \displaystyle{\left| {z + 1} \right| > 2}. Να δείξετε ότι \displaystyle{\left| {{z^3} + 1} \right| > 1}.
Μια λύση στην ύλη Λυκείου.
ask1.JPG
ask1.JPG (4.68 KiB) Προβλήθηκε 817 φορές
Είναι \left|z^3+1\right|=|z+1|\left|z^2-z+1\right| και επειδή |z+1|>2 , αρκεί

\left|z^2-z+1\right|>\dfrac{1}{2}\iff \left|z-\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}}\right|\left|z-\dfrac{1-i\sqrt{3}}{2}}\right|>\dfrac{1}{2}.

Αφού |z+1|>2 , η εικόνα M του z βρίσκεται εξωτερικά του C_1:(x+1)^2+y^2=4.

Οι εικόνες A,B των \dfrac{1\pm i\sqrt{3}}{2} είναι σημεία του κύκλου C_2:x^2+y^2=1.

Οι δύο κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά στο C(1,0)

Άρα αρκεί να δείξουμε ότι (MA)\cdot (MB)>\dfrac{1}{2}.
ask2.JPG
ask2.JPG (4.02 KiB) Προβλήθηκε 817 φορές
Έστω M οποιοδήποτε σημείο εξωτερικά του κύκλου (C_1) και η AM τέμνει τον κύκλο στο D ώστε το D είναι εσωτερικό του AM .

Αν A\widehat{D}B\leq \dfrac{\pi}{2} , τότε B\widehat{D}M\geq \dfrac{\pi}{2}>D\widehat{M}B.

Άρα MB>DB και αφού MA>DA , θα έχουμε (MA)(MB)>(DA)(DB) , άρα όταν το Μ κινείται εξωτερικά του C_1 ή στον κύκλο (C_1) , το (MA)(MB) παίρνει την ελάχιστη τιμή του (αν έχει) όταν το M ανήκει στον κύκλο.

Αν A\widehat{D}B> \dfrac{\pi}{2} και D(a,b) , τότε D\in C_1\iff a^2+b^2=3-2a\;(1).

A\widehat{D}B> \dfrac{\pi}{2}\iff \overset{\to}{MA}\cdot \overset{\to}{MB}<0 \iff

\iff \cdots\iff a^2+b^2-a-\dfrac{1}{2}<0\overset{(1)}{\iff}\cdots\iff a>\dfrac{5}{6}.

Αν M(x,y) σημείο που βρίσκεται είτε στον κύκλο C_1 είτε στο εξωτερικό του τότε έχουμε (MA)\codt(MB)=\cdots=\sqrt{(x^2+y^2-x+1)^2-3y^2}.

\bullet Αν A\widehat{D}B\leq \dfrac{\pi}{2} τότε το (MA)\cdot (MB) παίρνει ελάχιστη τιμή όταν M\in (C_1) , άρα θα ισχύει x^2+y^2+2x=3\iff y^2=3-x^2-2x.

Άρα (MA)\codt(MB)=\cdots=\sqrt{12x^2-18x+7} που γίνεται ελάχιστο όταν x=\dfrac{3}{4} και η ελάχιστη τιμή του είναι \sqrt{12\left(\dfrac{3}{4}\right)^2-18\dfrac{3}{4}+7}=\dfrac{1}{2}.

Άρα αν το M είναι εξωτερικά του κύκλου , θα ισχύει MA)\codt(MB)>\dfrac{1}{2}.
\bullet Αν A\widehat{D}B> \dfrac{\pi}{2} τότε a>\dfrac{5}{6} και αφού το D είναι εσωτερικό του AM θα είναι x>\dfrac{5}{6} .

Η g(x)=x^2-x+1 είναι γνησίως αύξουσα στο \left[\dfrac{1}{2},+\infty\right) , άρα για x>\dfrac{5}{6} έχουμε g(x)>g\left(\dfrac{5}{6}\right) \iff x^2-x+1>\dfrac{31}{36}.

Έτσι x^2-x+1+y^2>y^2+\dfrac{31}{36}\Rightarrow
\Rightarrow (MA)(MB)=\sqrt{(x^2+y^2-x+1)^2-3y^2}>\sqrt{\left(y^2+\dfrac{31}{36}\right)^2-3y^2}.

Άρα αρκεί να δείξουμε ότι \sqrt{\left(y^2+\dfrac{31}{36}\right)^2-3y^2}>\dfrac{1}{2}\iff \cdots \iff \left(y^2-\dfrac{23}{36}\right)^2+\dfrac{108}{36^2}>0 που ισχύει.

Επομένως σε κάθε περίπτωση έχουμε (MA)(MB)>\dfrac{1}{2}\iff |z^2-z+1|>\dfrac{1}{2} και αφού |z+1|>2 θα έχουμε |z^3+1|>1.


Κώστας Ζερβός
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: IMC 2013/2/1

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Δευ Αύγ 12, 2013 2:24 pm

Ωραία λύση Κώστα :clap2:


Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: IMC 2013/2/1

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Δευ Αύγ 12, 2013 9:45 pm

Eukleidis έγραψε:Έστω μιγαδικός αριθμός \displaystyle{z} με \displaystyle{\left| {z + 1} \right| > 2}. Να δείξετε ότι \displaystyle{\left| {{z^3} + 1} \right| > 1}.
Με δεδομένο ότι \displaystyle{\left| {z + 1} \right| > 2} , προκύπτει ότι ο μιγαδικός αριθμός \displaystyle{z} , βρίσκεται στον τόπο \displaystyle{D} , που είναι το εξωτερικό του κύκλου κέντρου \displaystyle{K\left( { - 1,0} \right)}

και ακτίνας \displaystyle{r=2} . Όπως επισημάνθηκε παραπάνω, αρκεί να αποδείξουμε ότι \displaystyle{\left| {{z^2} - z + 1} \right| > \frac{1}{2}} . Η μιγαδική συνάρτηση \displaystyle{f\left( z \right) = {z^2} - z + 1}

είναι πολυώνυμο με τις ρίζες του εντός του παραπάνω κύκλου, συνεπώς η ποσότητα \displaystyle{\left| {f\left( z \right)} \right|} παίρνει την ελάχιστη τιμή της επί του συνόρου του \displaystyle{D}

(αρχή ελάχιστου μέτρου επί του συνόρου). Επί του συνόρου του \displaystyle{D} έχουμε \displaystyle{z =  - 1 + 2{e^{i\theta }}} , οπότε \displaystyle{f\left( z \right) = .. = 3 + 4{e^{2i\theta }} - 6{e^{i\theta }}}

και \displaystyle{g\left( {\cos \theta } \right) = f\left( z \right) \cdot \overline {f\left( z \right)}  = \left( {3 + 4{e^{2i\theta }} - 6{e^{i\theta }}} \right)\left( {3 + 4{e^{ - 2i\theta }} - 6{e^{ - i\theta }}} \right) = .. = 61 + 24\cos 2\theta  - 84\cos \theta  = 48{\cos ^2}\theta  - 84\cos \theta  + 37}

Η συνάρτηση \displaystyle{g\left( {\cos \theta } \right)} γίνεται ελάχιστη για \displaystyle{\cos \theta  = \frac{7}{8}} και \displaystyle{g\left( {\frac{7}{8}} \right) = \frac{1}{4}} . Επομένως \displaystyle{\left| {f\left( z \right)} \right|_{\min }^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow \left| {f\left( z \right)} \right|_{\min }^{} = \frac{1}{2} \Rightarrow \forall z \in D:\left| {{z^2} - z + 1} \right| > \frac{1}{2}} .

Η ελάχιστη τιμή της ποσότητας \displaystyle{\left| {{z^3} + 1} \right|} που είναι ίση με \displaystyle{1} , επί του συνόρου του \displaystyle{D} , επιτυγχάνεται για δύο τιμές : \displaystyle{z = \frac{{3 \pm i\sqrt {15} }}{4}} .


Σεραφείμ Τσιπέλης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης