IMC 2013/2/3

Συντονιστής: Demetres

Eukleidis
Δημοσιεύσεις: 669
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 01, 2009 9:55 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

IMC 2013/2/3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Eukleidis » Παρ Αύγ 09, 2013 4:45 pm

Έστω \displaystyle{{v_1},{v_2},...,{v_d}} μοναδιαία διανύσματα στο χώρο \displaystyle{{{\Cal R}^d}}. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδιαίο διάνυσμα \displaystyle{u} τέτοιο ώστε \displaystyle{\left| {u \cdot {v_i}} \right| \leqslant \frac{1}{{\sqrt d }}} για \displaystyle{i = 1,2,...,d}.

( Εδώ το \displaystyle{ \cdot } δηλώνει το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στον \displaystyle{{{\Cal R}^d}} ).


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC 2013/2/3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Αύγ 10, 2013 2:45 pm

Όμορφο.

Για κάθε i μπορώ να βρω μοναδιαίο διάνυσμα u_i με u_i \cdot v_j = 0 για j \neq 0. Μπορώ να υποθέσω ότι για κάθε i είναι u_i \cdot v_i \neq 0 αλλιώς τελειώσαμε.

Κοιτάζω τώρα τα 2^d διανύσματα της μορφής \pm u_1 \pm u_2 \pm \cdots \pm u_d. Το άθροισμα των τετραγώνων των μέτρων τους ισούται με 2^d(|u_1|^2 + \cdots + |u_d|^2) = d2^d αφού τα u_i \cdot u_j με i \neq j εμφανίζονται 2^{d-1} φορές με συντελεστή +2 και 2^{d-1} φορές με συντελεστή -2. Επομένως υπάρχει διάνυσμα u αυτής της μορφής, με |u|^2 \geqslant d.

Αν τώρα θέσουμε w = u/|u| το w είναι μοναδιαίο με \displaystyle{ |w \cdot v_i| = \left| \frac{u}{|u|} \cdot v_i\right| \leqslant \frac{1}{|u|} \leqslant \frac{1}{\sqrt{d}}.}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης