IMC 2013/2/3

Eukleidis · #1

Έστω $\displaystyle{{v_1},{v_2},...,{v_d}}$ μοναδιαία διανύσματα στο χώρο $\displaystyle{{{\Cal R}^d}}$ . Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδιαίο διάνυσμα $\displaystyle{u}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{\left| {u \cdot {v_i}} \right| \leqslant \frac{1}{{\sqrt d }}}$ για $\displaystyle{i = 1,2,...,d}$ .

( Εδώ το $\displaystyle{ \cdot }$ δηλώνει το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στον $\displaystyle{{{\Cal R}^d}}$ ).

#2

Όμορφο.

Για κάθε

μπορώ να βρω μοναδιαίο διάνυσμα u_i

με $u_i \cdot v_j = 0$ για $j \neq 0$ . Μπορώ να υποθέσω ότι για κάθε

είναι $u_i \cdot v_i \neq 0$ αλλιώς τελειώσαμε.

Κοιτάζω τώρα τα 2^d

διανύσματα της μορφής $\pm u_1 \pm u_2 \pm \cdots \pm u_d$ . Το άθροισμα των τετραγώνων των μέτρων τους ισούται με $2^d(|u_1|^2 + \cdots + |u_d|^2) = d2^d$ αφού τα $u_i \cdot u_j$ με $i \neq j$ εμφανίζονται $2^{d-1}$ φορές με συντελεστή

και $2^{d-1}$ φορές με συντελεστή

. Επομένως υπάρχει διάνυσμα

αυτής της μορφής, με $|u|^2 \geqslant d$ .

Αν τώρα θέσουμε w = u/|u|

το

είναι μοναδιαίο με $\displaystyle{ |w \cdot v_i| = \left| \frac{u}{|u|} \cdot v_i\right| \leqslant \frac{1}{|u|} \leqslant \frac{1}{\sqrt{d}}.}$

IMC 2013/2/3

IMC 2013/2/3

Re: IMC 2013/2/3

Μέλη σε σύνδεση