SEEMOUS 2007/4

#1

Για $x \in \mathbb{R},y>0$ και $n \in \mathbb{N}$ ορίζουμε με $w_n(x,y) \in [0,\pi)$ την γωνία του τριγώνου που σχηματίζεται από τα σημεία (x,1),(n,0)

και

στην κορυφή (x,1)

.

(α) Να δειχθεί ότι για κάθε $x \in \mathbb{R},y>0$ η σειρά $\displaystyle{ \sum_{n = -\infty}^{\infty} w_n(x,y)}$ συγκλίνει. Αν θέσουμε $\displaystyle{w(x,y) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} w_n(x,y)}$ να δειχθεί ότι $w(x,y) < ([y]+1)\pi$ όπου με [y]

συμβολίζουμε το ακέραιο μέρος του

.

(β) Να αποδειχθεί ότι για κάθε $\varepsilon > 0$ υπάρχει $\delta > 0$ ώστε για κάθε $y \in (0,\delta)$ και κάθε $x \in \mathbb{R}$ να έχουμε $w(x,y) < \varepsilon$ .

(γ) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση $w: \mathbb{R} \times [0,\infty) \to [0,\infty)$ που ορίστηκε στο (α) είναι συνεχής.

Υ.Γ. Με μια μικρή επιφύλαξη μιας και η εκφώνηση που έχω είναι σε μερικά σημεία δυσανάγνωστη.

#2

Να προσθέσω ότι το θέμα αυτό το είχε προτείνει ο Βασίλης Νεστορίδης, Καθηγητής στο Μαθηματικό Αθηνών.

Το γνωρίζω από πρώτο χέρι γιατί ήμουν τότε στο (μονομελές!) short list committee του διαγωνισμού και στην επιτροπή διόρθωσης των γραπτών. Εννοείται ξέρω και την λύση (μη τι άλλο την είδα) οπότε δεν την γράφω.

Για το (β) είχε γίνει αρκετή συζήτηση για το πώς πρέπει να διατυπωθεί. Πρόκειται, βέβαια, για τον ορισμό της ομοιόμορφης συνέχειας αλλά θεωρήθηκε ότι είναι σωστότερο να μην χρησιμοποιηθεί ο όρος γιατί οι διαγωνιζόμενοι μπορεί να μην τον γνώριζαν (είναι φοιτητές το πολύ β' έτους).

Μ.

Zarifis · #3

Για το α) φτάνει να δείξουμε ότι η $\displaystyle{w(x,y)<y\pi }$ γιατί αφού $\displaystyle{y < \left\lfloor y \right\rfloor + 1}$ έπεται ότι $\displaystyle{w(x,y) < (\left\lfloor y \right\rfloor + 1)\pi }$ Γενικά κάνοντας ένα πρόχειρο σχήμα βλέπουμε πως αν $\displaystyle{y = 1}$ τότε το άθροισμα $\displaystyle{w(x,y) < \pi }$ φαίνεται εύκολα γιατί αφού κάθε γωνία συνεχίζει εκεί που τελειώνει η άλλη άρα φτάνει να κοιτάξουμε
την γωνία που σχηματίζεται από τα σημεία $\displaystyle{( - n,0),(n,0)}$ και αφού είναι τρίγωνο κι βρισκόμαστε σε ευκλείδειο χώρο έχουμε ότι κάθε γωνία ενός τριγώνου είναι $\displaystyle{ \theta< \pi }$ . Άρα φτάνει να δείξουμε το ζητούμενο για $\displaystyle{0 < y < 1}$ γιατί για $\displaystyle{y > 1}$ μπορούμε να γράψουμε το $\displaystyle{y = \left\lfloor y \right\rfloor + k,0 < k < 1}$ (Στην ουσία είναι επικαλυπτώμενα τρίγωνα).
Βλέπουμε πως στα σημεία $\displaystyle{(n,0),(n + y,0)}$ παίρνουμε το $\displaystyle{y*100\% }$ της γωνίας $\displaystyle{(n,0)(n + 1,0)}$ . Οπότε θα έχουμε: $\displaystyle{\sum\limits_{n = - \infty }^\infty {{w_n}(x,y) = } y\sum\limits_{n = - \infty }^\infty {{w_n}(x,1) < y\pi } }$ .
Για το β) για $\displaystyle{|y| < \delta (\varepsilon )}$ έχουμε $\displaystyle{w(x,y) < y\pi }$ και για $\displaystyle{\delta (\varepsilon ) = \frac{\varepsilon }{\pi }}$ έχουμε $\displaystyle{w(x,y) < \varepsilon }$
γ)έχουμε αποδείξει στο β) ότι είναι ομοιόμορφα συνεχής ως προς

τώρα για το

θέτουμε: $\displaystyle{{f_k}(x) = \sum\limits_{n = - k}^k {{w_n}(x,y)} }$ με

σταθερό. Έχουμε ότι για $\displaystyle{k\rightarrow \infty ,{f_k} \rightarrow w}$
Όμως τα $\displaystyle{{w_n}>0}$ και η $\displaystyle{{f_k}}$ είναι φραγμένη οπότε από Κριτήριο Dini η $\displaystyle{{f_k}}$ συγκλίνει ομοιόμορφα στην $\displaystyle{w}$ . Αν πάρουμε διανύσματα για μια τυχαία γωνία κι τον τύπο $\displaystyle{\cos \theta = \frac{{ab}}{{|a||b|}}}$ έχουμε ότι η $\displaystyle{{w_n}(x,y)}$ είναι συνεχής ως προς χ, άρα αφού συγκλίνει ομοιόμορφα τότε κι η $\displaystyle{w}$ είναι συνεχής ως προς

.

Υ.Γ. Να το κοιτάξει κάποιος γιατί δεν είμαι σίγουρος για την ορθότητα της σκέψης μου.
Υ.Γ.2 Θα το διορθώσω αργότερα.

#4

Zarifis έγραψε: Βλέπουμε πως στα σημεία $\displaystyle{(n,0),(n + y,0)}$ παίρνουμε το $\displaystyle{y*100\% }$ της γωνίας $\displaystyle{(n,0)(n + 1,0)}$ .

Αυτό είναι λάθος. Το (α) διορθώνεται αφού απέδειξες ότι $w_n(x,y) \leqslant y\pi$ για

ακέραιο και ισχύει εύκολα ότι

$\displaystyle{w_n(x,y) \leqslant w_n(x,\lceil y \rceil) \leqslant \lceil y \rceil \pi \leqslant (\lfloor y \rfloor + 1) \pi.}$

(Αν το

δεν είναι ακέραιος τότε η πρώτη ανισότητα είναι αυστηρή, ενώ αν το

είναι ακέραιος τότε η τελευταία ανισότητα είναι αυστηρή.)

Χαλάει όμως το (β) διότι για 0 < y < 1

μέχρι στιγμής γνωρίζουμε ότι $w_n(x,y) < \pi$ ενώ θέλουμε ένα φράγμα (ανεξάρτητο του

) που να τείνει στο

όταν το

τείνει στο 0.

SEEMOUS 2007/4

SEEMOUS 2007/4

SEEMOUS 2007/4

Re: SEEMOUS 2007/4

Re: SEEMOUS 2007/4

Μέλη σε σύνδεση