SEEMOUS 2014

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Peking University, Πεκίνο

SEEMOUS 2014

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Παρ Μαρ 07, 2014 6:59 pm

Το είχα ξεχάσει εντελώς, αλλά σήμερα ήταν ο Seemous!

Ας ελπίσουμε να έχουν γράψει καλά οι δικοί μας. Τα θέματα πάντως ήταν, για πρώτη φορά μετά από 3 χρόνια, αξιοπρεπή για το επίπεδο ενός διεθνούς διαγωνισμού:

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 0#p3420420

(στο παραπάνω link δίνω συνοπτικά και τις λύσεις στα 3 πρώτα προβλήματα).
τελευταία επεξεργασία από Nick1990 σε Δευ Μαρ 10, 2014 6:42 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
kwstas12345
Δημοσιεύσεις: 1055
Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm

Re: SEEMOUS 2014

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kwstas12345 » Παρ Μαρ 07, 2014 7:58 pm

Και μια λύση για το 4ο,:

Γνωρίζουμε ότι \displaystyle \arctan(x)=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{2k+1}}, |x|\leqslant 1, επομένως :\displaystyle n\int_{0}^{n}{\frac{\arctan\left(\frac{x}{n} \right)}{x\left(1+x^2 \right)}}dx=\int_{0}^{n}{\left(\frac{1}{1+x^2}+\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{(-1)^k x^{2k}}{\left(2k+1 \right)\left(1+x^2 \right)n^{2k}}} \right)}dx

\displaystyle =\arctan(n)+\int_{0}^{n}{\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{(-1)^k x^{2k}}{n^{2k}(1+x^2)(2k+1)}}}dx

όμως \displaystyle n^{-2k}\int_{0}^{n}{\frac{x^{2k}dx}{1+x^2}}\leqslant n^{-2k}\int_{0}^{n}{x^{2k-2}dx}\leqslant \frac{1}{2k-1}, και επειδή \displaystyle \sum_{k}{\frac{1}{4k^2 -1}}<\infty

Άρα από το θεώρημα Fubini: \displaystyle \int_{0}^{n}{\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{(-1)^k x^{2k}}{n^{2k}(1+x^2)(2k+1)}}}dx=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{(-1)^k}{\left(2k+1 \right)}\frac{1}{n^{2k}}\int_{0}^{n}{\frac{x^{2k}}{1+x^2}}}dx.

Οπότε θα υπολογίσουμε το \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\left[n\left(\arctan(n)-\pi/2 \right)+\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{k}}{2k+1}}n^{-2k+1}\int_{0}^{n}{\frac{x^{2k}dx}{1+x^2 }} \right].

Έστω \displaystyle a_{n}\left(k \right):=\frac{(-1)^k}{2k+1}n^{-2k+1}\int_{0}^{n}{\frac{x^{2k}}{1+x^2 }}dx, τότε \displaystyle \left|a_{n}\left(k \right) \right|\leqslant \frac{1}{4k^2-1}:=b(k) διότι \displaystyle \int_{0}^{n}{\frac{x^{2k}}{1+x^2}}dx\leqslant \frac{n^{2k-1}}{2k-1}.

Από DHL παρατηρούμε ότι \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}a_{n}\left(k \right)=\frac{(-1)^k}{4k^2 -1}. Επειδή \displaystyle \sum_{k}{\frac{1}{4k^2 -1}}<\infty από το θεώρημα Κυριαρχημένης Σύγκλισης:

\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{\infty}{a_{n}\left(k \right)}=\sum_{k=1}^{\infty}{\lim_{n\rightarrow \infty}a_{n}\left(k \right)}= \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{(-1)^k}{4k^2 -1}}=\sum_{k=1}^{\infty}{(-1)^{k}\int_{0}^{1}{\left(x^{2k}-x^{2k-2} \right)}}dx= \displaystyle \int_{0}^{1}{\sum_{k=1}^{\infty}{\left(-1)^k\left(x^{2k}-x^{2k-2} \right) \right)}}dx=...=\frac{2-\pi}{4}.

Τέλος \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}n\left(\arctan n -\pi/2 \right)=-1, άρα το όριο ισούται με \displaystyle (-2-\pi)/4.Έπεται ότι και το πρώτο όριο ισούται με \pi/2

Καλά αποτελέσματα σε όλα τα παιδιά!


Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Peking University, Πεκίνο

Re: SEEMOUS 2014

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Δευ Μαρ 10, 2014 6:39 pm

Φαίνεται πως έχουμε φτιάξει παράδοση στο συγκεκριμένο διαγωνισμό. Φέτος έχουμε 4 χρυσά, 4 ασημένια και 3 χάλκινα. Αναλυτικά εδώ: http://math.etti.tuiasi.ro/seemous/wp-c ... esults.pdf

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά αλλά και στον αρχηγό της ομάδας, τον Σιλουανό.


Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8571
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: SEEMOUS 2014

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Μαρ 17, 2014 11:43 am

Απολογούμαι για την καθυστέρηση αλλά απουσίαζα στο εξωτερικό και δεν έμπαινα συχνά στο mathematica.

Συγχαρητήρια σε όλους για τις επιτυχίες. :clap2:


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 4018
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: SEEMOUS 2014

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Δευ Μαρ 17, 2014 1:22 pm

Συγχαρητήρια σε όλους τους μαθητές μας για τις εξαιρετικές τους επιδόσεις στο διαγωνισμό!

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2781
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: SEEMOUS 2014

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Παρ Αύγ 07, 2020 1:53 pm

Καλησπέρα σας!

Στο άρθρο Olimpiada de Matematica a Studentilor din Sud-Estul Europei, SEEMOUS 2014, σελ. 26-36 , υπάρχουν εναλλλακτικές λύσεις και ενδιαφέρουσες πληροφορίες.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης