SEEMOUS 2014/2

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8569
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

SEEMOUS 2014/2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Απρ 14, 2014 3:10 pm

Θεωρούμε την ακολουθία (x_n) που ορίζεται ως x_1 = 2 και

\displaystyle{ x_{n+1} = \frac{x_n + 1 + \sqrt{x_n^2 + 2x_n + 5}}{2}} για n \geqslant 1.

Να δειχθεί ότι η ακολουθία

\displaystyle{ y_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{x_k^2 - 1}}

είναι συγκλίνουσα και να βρεθεί το όριό της.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8569
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: SEEMOUS 2014/2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Απρ 14, 2014 3:10 pm

Απάντηση του μέλους μας Nick1990 στα αγγλικά υπάρχει εδώ.

Αν κάποιος έχει χρόνο ας βάλει και μια πιο πλήρη απάντηση για να την έχουμε στα ελληνικά μιας και η πιο πάνω δείχνει μόνο τα βασικά βήματα της λύσης στα αγγλικά.


Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Peking University, Πεκίνο

Re: SEEMOUS 2014/2

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Δευ Απρ 14, 2014 5:25 pm

Κάνω μια μετάφραση στα Ελληνικά:

Παρατηρούμε ότι ο αριθμός x_{n+1} είναι η θετική ρίζα της εξίσωσης: x^2 - (x_n + 1)x - 1 = 0 (αρκεί να τη λύσουμε).

Έχουμε: x^2_{n+1} - x_{n+1}(x_n + 1) - 1 = 0 \Leftrightarrow x^2_{n+1} - 1 = x_{n+1}(x_n + 1) \Leftrightarrow \frac{1}{x_n + 1} = \frac{x_{n+1}}{x^2_{n+1} - 1}.

Άρα \frac{1}{x^2_{n+1} - 1} = \frac{1 - x_{n+1} + x_{n+1}}{x^2_{n+1} - 1} = \frac{x_{n+1}}{x^2_{n+1} - 1} + \frac{1 - x_{n+1}}{x^2_{n+1} - 1} =

= \frac{x_{n+1}}{x^2_{n+1} - 1} - \frac{1}{x_{n+1} + 1} = z_n - z_{n+1}, όπου z_n = \frac{1}{x_n + 1} = \frac{x_{n+1}}{x^2_{n+1} - 1} \, \forall n \in \mathbb{N}.

Με επαγωγή και χρησιμοποιώντας τον αναδρομικό τύπο, μπορούμε να δείξουμε ότι x_n > 1 \, \forall n \in \mathbb{N} (στο επαγωγικό βήμα "πετάμε" τη ρίζα). Από αυτό και από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι η z_n είναι φθίνουσα, ενώ προφανώς είναι και θετική, οπότε συγκλίνει σε κάποιο z \geq 0

Άρα \frac{1}{x^2_{n+1} - 1} = z_n - z_{n+1} \rightarrow z - z = 0, οπότε x_{n+1} \rightarrow +\infty που σημαίνει ότι z_n \rightarrow 0.

Τέλος, το n-ωστό μερικό άθροισμα της σειράς ισούται προφανώς με:

\frac{1}{x^2_1 - 1} + z_1 - z_n \rightarrow \frac{1}{x^2_1 - 1} + z_1 = \frac{2}{3}. Άρα η σειρά συγκλίνει στο \frac{2}{3}.


Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης