SEEMOUS 2014/3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8571
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

SEEMOUS 2014/3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Απρ 14, 2014 3:15 pm

Έστω A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) και a \in \mathbb{C} με a \neq 0 έτσι ώστε A - A^{\ast} = 2aI_n. [Με A^{\ast} συμβολίζουμε τον πίνακα (\overline{A})^t όπου \overline{A} είναι ο συζυγής πίνακας του A.]

(α) Να δειχθεί ότι |\det(A)| \geqslant |a|^n.

(β) Αν |\det(A)| =|a|^n να δειχθεί ότι A = aI_n.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8571
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: SEEMOUS 2014/3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Απρ 14, 2014 3:15 pm

Απάντηση του μέλους μας Nick1990 στα αγγλικά υπάρχει εδώ.

Αν κάποιος έχει χρόνο ας βάλει και μια πιο πλήρη απάντηση για να την έχουμε στα ελληνικά μιας και η πιο πάνω δείχνει μόνο τα βασικά βήματα της λύσης στα αγγλικά.


Άβαταρ μέλους
Zarifis
Δημοσιεύσεις: 107
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 15, 2011 12:44 am
Τοποθεσία: Νίκαια

Re: SEEMOUS 2014/3

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Zarifis » Τρί Απρ 15, 2014 7:28 pm

Παίρνουμε ανάστροφο συζυγή κι στα δυο μέρη κι συμπεραίνουμε άμεσα πως \displaystyle{a \in Ri}
Θέτω: \displaystyle{{\rm B} = {\rm A} - aI} κι έχω : \displaystyle{{\rm B} - {{\rm B}^*} = {0_n}} άρα είναι ερμιτιανός κι από φασματικό θεώρημα είναι διαγωνοποιήσιμος με πραγματικές ιδιοτιμές.
Έχουμε: \displaystyle{{\rm B} = P\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 
  {{\lambda _1}}&0&0 \\  
  0& \ddots &0 \\  
  0&0&{{\lambda _n}}  
\end{array}} \right){P^*}} άρα \displaystyle{A = P\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 
  {{\lambda _1} + a}&0&0 \\  
  0& \ddots &0 \\  
  0&0&{{\lambda _n} + a}  
\end{array}} \right){P^*}} Τέλος: \displaystyle{|\det A| = |\det \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 
  {{\lambda _1} + a}&0&0 \\  
  0& \ddots &0 \\  
  0&0&{{\lambda _n} + a}  
\end{array}} \right)| =| \prod\limits_{i = 1}^n {({\lambda _i} + a)}| } και \displaystyle{\prod\limits_{i = 1}^n {|({\lambda _i} + a)|}  \geqslant |a{|^n}} άμεσα από Π.Θεωρημα (είτε διαφορικό λογισμό).
Η ισότητα ισχύει όπως φαίνεται από πάνω για όλες τις ιδιοτιμές του B ίσες με 0 άρα ο Β είναι μηδενικός(αφού είναι ερμιτιανός) . Οπότε προκύπτει το ζητούμενο


Τι νόημα έχει το όνειρο χωρίς μικρές νοθείες...
Νίκος Ζαρίφης-ΗΜΜΥ
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης