IMC 2007/1/1

#1

Έστω

ένα πολυώνυμο βαθμού 2 με ακέραιους συντελεστές. Αν f(k)

είναι πολλαπλάσιο του

για κάθε ακέραιο

να δειχθεί ότι όλοι οι συντελεστές του f(x)

είναι πολλαπλάσια του

.

#2

Έστω $\displaystyle{{\mathbb{F}_5}}$ το σώμα με

στοιχεία και $\displaystyle{\varphi :\mathbb{Z} \to {\mathbb{F}_5}:a \mapsto \varphi \left( a \right) = a\left( {\bmod 5} \right)}$ η κανονική απεικόνιση. Τότε, η $\displaystyle{\varphi }$ επάγει έναν ομομορφισμό δακτυλίων πολυωνύμων

$\displaystyle{\bar \varphi :\mathbb{Z}\left[ X \right] \to {\mathbb{F}_5}\left[ X \right]:f\left( X \right) = \sum\limits_{i = 0}^n {{a_i}} {X^i} \mapsto \bar f\left( X \right): = \sum\limits_{i = 0}^n {\varphi \left( {{a_i}} \right)} {X^i}}.$

Από την υπόθεση, για κάθε $x \in \mathbb{F}_5$ ισχύει ότι $\displaystyle{\bar f\left( x \right) = 0.}$ Αλλά, αφού το πολυώνυμο $\displaystyle{\bar f\left( X \right) \in {\mathbb{F}_5}\left[ X \right]}$ έχει

ρίζες και βαθμό το πολύ

, θα έχουμε ότι το $\displaystyle{\bar f\left( X \right)}$ είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Επομένως, όλοι οι συντελεστές του πολυωνύμου $\displaystyle{f\left( X \right)}$ θα είναι πολλαπλάσια του

.

Σημείωση: Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται ότι αν

είναι ένας πρώτος αριθμός και $\displaystyle{f\left( X \right) \in \mathbb{Z}\left[ X \right]}$ είναι ένα πολυώνυμο βαθμού μικρότερου του

τέτοιο, ώστε $\displaystyle{f\left( k \right) \equiv 0\left( {\bmod p} \right)}$ για κάθε $k \in \mathbb{Z}$ , τότε όλοι οι συντελεστές του $\displaystyle{f\left( X \right)}$ είναι πολλαπλάσια του

.

#3

Απολογούμαι για ένα τυπογραφικό στην εκφώνηση και ευχαριστώ των Βαγγέλη που το πρόσεξε.

Μας απέδειξε πολύ περισσότερα ο Βαγγέλης αλλά η άσκηση είναι αρκετά πιο απλή που θα μπορούσε να μπει και σε διαγωνισμό junior!

Έστω f(x) = ax^2 + bx + c

το πολυώνυμο. Είναι f(0) = c

οπότε το

είναι πολλαπλάσιο του

. Επίσης

είναι πολλαπλάσιο του

. Οπότε το

άρα και το

είναι πολλαπλάσιο του 5. Τέλος το f(1) -a - c = b

είναι επίσης πολλαπλάσιο του

.

Nick1990 · #4

Μέχρι το 2008 έμπαιναν 12 προβλήματα συνολικά, με 1-2 υπερβολικά εύκολα, όπως αυτό. Πλέον τα θέματα είναι 10 και απείρως πιο ποιοτικά, και πραγματικά στο επίπεδο ενός διεθνούς διαγωνισμού.

IMC 2007/1/1

IMC 2007/1/1

Re: IMC 2007/1/1

Re: IMC 2007/1/1

Re: IMC 2007/1/1

Μέλη σε σύνδεση