IMC 2007/1/1

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2007/1/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Απρ 23, 2014 11:32 am

Έστω f(x) ένα πολυώνυμο βαθμού 2 με ακέραιους συντελεστές. Αν f(k) είναι πολλαπλάσιο του 5 για κάθε ακέραιο k να δειχθεί ότι όλοι οι συντελεστές του f(x) είναι πολλαπλάσια του 5.


Άβαταρ μέλους
emouroukos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1417
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: IMC 2007/1/1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Πέμ Απρ 24, 2014 12:52 am

Έστω \displaystyle{{\mathbb{F}_5}} το σώμα με 5 στοιχεία και \displaystyle{\varphi :\mathbb{Z} \to {\mathbb{F}_5}:a \mapsto \varphi \left( a \right) = a\left( {\bmod 5} \right)} η κανονική απεικόνιση. Τότε, η \displaystyle{\varphi } επάγει έναν ομομορφισμό δακτυλίων πολυωνύμων

\displaystyle{\bar \varphi :\mathbb{Z}\left[ X \right] \to {\mathbb{F}_5}\left[ X \right]:f\left( X \right) = \sum\limits_{i = 0}^n {{a_i}} {X^i} \mapsto  \bar f\left( X \right): = \sum\limits_{i = 0}^n {\varphi \left( {{a_i}} \right)} {X^i}}.

Από την υπόθεση, για κάθε x \in \mathbb{F}_5 ισχύει ότι \displaystyle{\bar f\left( x \right) = 0.} Αλλά, αφού το πολυώνυμο \displaystyle{\bar f\left( X \right) \in {\mathbb{F}_5}\left[ X \right]} έχει 5 ρίζες και βαθμό το πολύ 2, θα έχουμε ότι το \displaystyle{\bar f\left( X \right)} είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Επομένως, όλοι οι συντελεστές του πολυωνύμου \displaystyle{f\left( X \right)} θα είναι πολλαπλάσια του 5.

Σημείωση: Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται ότι αν p είναι ένας πρώτος αριθμός και \displaystyle{f\left( X \right) \in \mathbb{Z}\left[ X \right]} είναι ένα πολυώνυμο βαθμού μικρότερου του p τέτοιο, ώστε \displaystyle{f\left( k \right) \equiv 0\left( {\bmod p} \right)} για κάθε k \in \mathbb{Z}, τότε όλοι οι συντελεστές του \displaystyle{f\left( X \right)} είναι πολλαπλάσια του p.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC 2007/1/1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Απρ 24, 2014 10:35 am

Απολογούμαι για ένα τυπογραφικό στην εκφώνηση και ευχαριστώ των Βαγγέλη που το πρόσεξε.

Μας απέδειξε πολύ περισσότερα ο Βαγγέλης αλλά η άσκηση είναι αρκετά πιο απλή που θα μπορούσε να μπει και σε διαγωνισμό junior!

Έστω f(x) = ax^2 + bx + c το πολυώνυμο. Είναι f(0) = c οπότε το c είναι πολλαπλάσιο του 5. Επίσης f(1) + f(-1) -2c = 2a είναι πολλαπλάσιο του 5. Οπότε το 2a άρα και το a είναι πολλαπλάσιο του 5. Τέλος το f(1) -a - c = b είναι επίσης πολλαπλάσιο του 5.


Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Peking University, Πεκίνο

Re: IMC 2007/1/1

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Πέμ Απρ 24, 2014 6:46 pm

Μέχρι το 2008 έμπαιναν 12 προβλήματα συνολικά, με 1-2 υπερβολικά εύκολα, όπως αυτό. Πλέον τα θέματα είναι 10 και απείρως πιο ποιοτικά, και πραγματικά στο επίπεδο ενός διεθνούς διαγωνισμού.


Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης