IMC 2007/2/1

#1

Έστω συνεχής συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με την ιδιότητα για κάθε c>0

το γράφημα της

να μπορεί να μετακινηθεί στο γράφημα της

χρησιμοποιώντας μόνο μια περιστροφή ή μια μεταφορά.

Ισχύει ότι υπάρχουν $a,b\in \mathbb{R}$ ώστε f(x) = ax+b

για $x \in \mathbb{R}$ ;

#2

Για μια συνάρτηση $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ συμβολίζουμε με

$\displaystyle{G\left( f \right): = \left\{ {\left( {x,y} \right) \in {\mathbb{R}^2}:y = f\left( x \right)} \right\}}$

το γράφημα της

.

Θεωρούμε τη συνάρτηση $\varphi: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με $\displaystyle{{\varphi \left( x \right) = {e^x}}.}$ Τότε, για κάθε c>0

η μεταφορά

$\displaystyle{T:{\mathbb{R}^2} \to {\mathbb{R}^2}:\left( {x,y} \right) \mapsto T\left( {x,y} \right): = \left( {x - \ln c,y} \right)}$

έχει την ιδιότητα

$\displaystyle{T\left( {G\left( \varphi \right)} \right) = G\left( {c\varphi } \right).}$

Πράγματι, είναι

$\displaystyle{\left( {x,y} \right) \in G\left( \varphi \right) \Leftrightarrow y = \varphi \left( x \right) = {e^x} = c{e^{x - \ln c}} = c\varphi \left( {x - \ln c} \right) \Leftrightarrow T\left( {x,y} \right) \in G\left( {c\varphi } \right).}$

Επομένως, η απάντηση στο ερώτημα του προβλήματος είναι αρνητική.

(Δεν ξέρω αν χάνω κάτι, αλλά η περιστροφή δε μου χρειάστηκε ...)

#3

Όχι Βαγγέλη. Απλά είναι και αυτό ένα από τα προβλήματα στα οποία αναφέρεται ο Νίκος εδώ.

IMC 2007/2/1

IMC 2007/2/1

Re: IMC 2007/2/1

Re: IMC 2007/2/1

Μέλη σε σύνδεση