IMC 2007/2/1

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2007/2/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Μάιος 09, 2014 7:36 pm

Έστω συνεχής συνάρτηση f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} με την ιδιότητα για κάθε c>0 το γράφημα της f να μπορεί να μετακινηθεί στο γράφημα της cf χρησιμοποιώντας μόνο μια περιστροφή ή μια μεταφορά.

Ισχύει ότι υπάρχουν a,b\in \mathbb{R} ώστε f(x) = ax+b για x \in \mathbb{R};


Άβαταρ μέλους
emouroukos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1417
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: IMC 2007/2/1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Δευ Μάιος 12, 2014 3:47 pm

Για μια συνάρτηση f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} συμβολίζουμε με

\displaystyle{G\left( f \right): = \left\{ {\left( {x,y} \right) \in {\mathbb{R}^2}:y = f\left( x \right)} \right\}}

το γράφημα της f.

Θεωρούμε τη συνάρτηση \varphi: \mathbb{R} \to \mathbb{R} με \displaystyle{{\varphi \left( x \right) = {e^x}}.} Τότε, για κάθε c>0 η μεταφορά

\displaystyle{T:{\mathbb{R}^2} \to {\mathbb{R}^2}:\left( {x,y} \right) \mapsto T\left( {x,y} \right): = \left( {x - \ln c,y} \right)}

έχει την ιδιότητα

\displaystyle{T\left( {G\left( \varphi  \right)} \right) = G\left( {c\varphi } \right).}

Πράγματι, είναι

\displaystyle{\left( {x,y} \right) \in G\left( \varphi  \right) \Leftrightarrow y = \varphi \left( x \right) = {e^x} = c{e^{x - \ln c}} = c\varphi \left( {x - \ln c} \right) \Leftrightarrow T\left( {x,y} \right) \in G\left( {c\varphi } \right).}

Επομένως, η απάντηση στο ερώτημα του προβλήματος είναι αρνητική.

(Δεν ξέρω αν χάνω κάτι, αλλά η περιστροφή δε μου χρειάστηκε ...)


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC 2007/2/1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Μάιος 12, 2014 5:09 pm

Όχι Βαγγέλη. Απλά είναι και αυτό ένα από τα προβλήματα στα οποία αναφέρεται ο Νίκος εδώ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες