IMC 2007/2/3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2007/2/3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Μάιος 09, 2014 7:39 pm

Έστω C ένα μη κενό, κλειστό και φραγμένο υποσύνολο των πραγματικών και έστω f: C\to C μια συνεχής και αύξουσα συνάρτηση.

Να δειχθεί ότι υπάρχει x \in C ώστε f(x) = x.


Άβαταρ μέλους
Zarifis
Δημοσιεύσεις: 107
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 15, 2011 12:44 am
Τοποθεσία: Νίκαια

Re: IMC 2007/2/3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Zarifis » Σάβ Μάιος 10, 2014 9:47 pm

Απλή εφαρμογή fixed point theorym ; Αλλά πολύ απλό νομίζω.


Τι νόημα έχει το όνειρο χωρίς μικρές νοθείες...
Νίκος Ζαρίφης-ΗΜΜΥ
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC 2007/2/3

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Μάιος 10, 2014 10:04 pm

Νίκο σε ποιο fixed point theorem αναφέρεσαι; [Προσοχή ότι το C δεν είναι διάστημα.]

Το έβγαλα με Knaster-Tarski του οποίου όντως είναι απλή εφαρμογή αλλά το θεώρημα αυτό ίσως να μην είναι τόσο γνωστό.


Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 650
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Oxford, United Kingdom

Re: IMC 2007/2/3

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Κυρ Μάιος 11, 2014 11:44 pm

Είναι όντως αρκετά απλό, από όταν ακόμα ο imc είχε 12 προβλήματα και ορισμένα είτε άκομψα είτε πολύ εύκολα. Πλέον δε θα έμπαινε παραπάνω από πρώτο πρώτης μέρας. Δε χρειάζεται καν υπέροπλα. Θεωρούμε το σύνολο K = \{x \in C | f(x) \geq x \}, που λόγω συνέχειας της f είναι κλειστό στο C. Επειδή το C είναι κλειστό στους πραγματικούς, το K είναι επίσης κλειστό στους πραγματικούς και άρα έχει ένα μέγιστο y. Τότε f(y) \geq y \Rightarrow f(f(y)) > f(y) \Rightarrow f(y) \in K \Rightarrow y \geq f(y). Άρα f(y) = y και τέλος.


Κολλιοπουλος Νικος -- Απόφοιτος ΣΕΜΦΕ - ΕΜΠ, Υποψήφιος διδάκτωρ στο πανεπιστήμιο της Οξφόρδης

https://www.maths.ox.ac.uk/people/nikolaos.kolliopoulos
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης