Euler 2014-2

#1

Να βρεθούν όλοι οι μιγαδικοί

για τους οποίους υπάρχει πραγματικό πολυώνυμο P_z(x)

ώστε να ισχύουν τα ακόλουθα:
(α) Όλοι οι συντελεστές του P_z

είναι μη αρνητικοί, και
(β) το

είναι ρίζα του P_z

.

[Επεξεργασία: Βελτίωση εκφώνησης.]

#2

Αν

θετικός πραγματικός, τότε προφανώς δεν υπάρχει τέτοιο πολυώνυμο. Θα δείξουμε ότι σε όλες τις άλλες περιπτώσεις υπάρχει.

Για $z = r \in \mathbb{R}_{\leqslant 0}$ παίρνουμε P_z(x) = x-r

. Οπότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι z = a + bi

με $b \neq 0$ . Για θετικό ακέραιο

, ορίζουμε πραγματικά πολυώνυμα

$\displaystyle{ P_n(x) = x^{2^n} + a_nx^{2^{n-1}} + b_n}$ και $\displaystyle{ Q_n(x) = x^{2^n} - a_nx^{2^{n-1}} + b_n}$

όπου τα a_n,b_n

ορίζονται με τις πιο κάτω αναδρομικές σχέσεις:

$\displaystyle{ a_1 = -2a, b_1 = a^2+b^2, a_{n+1} = 2b_n-a_n^2, b_{n+1} = b_n^2 }$

Παρατηρούμε ότι το

είναι ρίζα του P_1(x)

. Επαγωγικά είναι ρίζα του P_n(x)

για κάθε

, αφού $P_{n+1}(x) = P_n(x)Q_n(x)$ .

Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι υπάρχει φυσικός

ώστε $a_n \geqslant 0$ . Ορίζω $\displaystyle{ c_n = \frac{b_n}{a_n^2}.}$ Αρκεί να δείξω ότι $c_n \geqslant 1/2$ για κάποιον

αφού τότε θα είναι $a_{n+1} = 2b_n - a_n^2 \geqslant 0$ .

Η ακολουθία c_n

ικανοποιεί τον αναδρομικό τύπο

$\displaystyle{ c_{n+1} = \frac{b_{n+1}}{a_{n+1}^2} = \frac{b_n^2}{(2b_n-a_n^2)^2} = \left(\frac{b_n}{2b_n - b_n/c_n}\right)^2 = \left(\frac{c_n}{1-2c_n}\right)^2.}$

Ας υποθέσουμε προς άτοπο ότι c_n < 1/2

για κάθε

. Έχουμε επίσης την αρχική συνθήκη $\displaystyle{c_1 = \frac{a^2+b^2}{4a^2} > \frac{1}{4}.}$ Τότε όμως είναι

$\displaystyle{ c_{n+1} - c_n = \frac{c_n}{(1-2c_n)^2}\left[ c_n - (1-2c_n)^2\right] = \frac{c_n(5c_n - 1 - 4c_n^2)}{(1-2c_n)^2} = \frac{c_n(4c_n - 1)(1-c_n)}{(1-2c_n)^2}}$

Επαγωγικά (χρησιμοποιώντας και την προς άτοπο υπόθεση) λαμβάνουμε ότι η ακολουθία c_n

είναι αύξουσα και άνω φραγμένη από το 1/2

. Άρα τείνει σε κάποιο όριο $\ell$ . Παίρνοντας όρια στην αναδρομική σχέση λαμβάνουμε

$\displaystyle{ \ell = \frac{\ell^2}{(1-2\ell)^2}}$

Τότε $4\ell^2 - 5\ell + 1 = 0$ , οπότε $\ell=1$ ή $\ell = 1/4$ . Και τα δύο όμως απορρίπτονται. Οπότε όντως $c_n \geqslant 1/2$ για κάποιο

.

Euler 2014-2

Euler 2014-2

Re: Euler 2014-2

Μέλη σε σύνδεση