IMC 2014/1/3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

IMC 2014/1/3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Πέμ Ιούλ 31, 2014 6:35 pm

Έστω n θετικός ακέραιος.

Δείξτε ότι υπάρχουν θετικοί πραγματικοί a_0, a_1,\ldots, a_n, ώστε για κάθε επιλογή προσήμων, το πολυώνυμο \pm a_nx^n\pm a_{n-1}x^{n-1}\pm\cdots\pm a_1x\pm a_0 να έχει n διακεκριμένες πραγματικές ρίζες


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Peking University, Πεκίνο

Re: IMC 2014/1/3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Πέμ Ιούλ 31, 2014 11:37 pm

Πολύ απλό για 3 όπως έγραψα και αλλού. Κάνω επαγωγή στο n. Για n=1 είναι τετριμμένο. Έστω πως ισχύει για n=k και έστω p(x) το πολυωνυμο με τα θετικά πρόσημα. Το xp(x) έχει την ίδια ιδιότητα για n=k+1 με μόνη διαφορά το ότι δεν έχει σταθερό συντελεστή. Είναι απλό τώρα να δούμε ότι την ίδια ιδιότητα έχει και μια μικρή διαταραχή του τελευταίου κατά μια μικρή θετική σταθερά, διότι διαφορετικά κάποια ρίζα για κάποια επιλογή προσημων στο xp(x) θα ήταν και τοπικό ακρότατο, άρα διπλή ρίζα αυτού, άτοπο. Άρα ή διαταραχή αυτή βαθμού k+1 μας κάνει. Η επιλογή της μικρής σταθεράς βγαίνει εύκολα εφαρμόζοντας τον ορισμό της μη ύπαρξης ακροτατου σε πεπερασμένο πλήθος ριζών πεπερασμένου πλήθους πολυωνυμων. Η διαφορετικότητα των ριζών του τελικού πολυωνυμου εξασφαλίζεται από το γεγονός ότι τα διαστήματα του ορισμού της μη ύπαρξης τοπικού ακροτατου, λαμβάνονται οσοδήποτε μικρά θέλουμε.


Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης