IMC 2014/2/1

Nick1990

Για κάθε θετικό ακέραιο

, ορίζουμε d_n(x)

να είναι το

οστό ψηφίο του στη δεκαδική αναπαράσταση αυτού. Έστω a_n

ακολουθία θετικών ακεραίων, έτσι ώστε η ακολουθία d_n(a_n)

να έχει μόνο πεπερασμένο πλήθος μηδενικών. Δείξτε ότι υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι που δεν περιλαμβάνονται στην ακολουθία a_n

.

Ή κάτι δεν κατάλαβα καλά ή είναι εντελώς τετριμμένο: Έστω ότι όλοι οι θετικοί ακέραιοι εκτός από ακριβώς

περιέχονται στην ακολουθία a_n

και ότι η ακολουθία d_n(a_n)

έχει ακριβώς $\ell$ μηδενικά. Παίρνω ακέραιο

ώστε $10^m - 1 - m > k + \ell$ . Υπάρχουν 10^m-1

φυσικοί με το πολύ

ψηφία. Τουλάχιστον $10^m - 1 - k > m + \ell$ από αυτούς εμφανίζονται στην ακολουθία. Άρα τουλάχιστον $\ell + 1$ από αυτούς είναι όροι της μορφής a_n

για

. Για κάθε τέτοιο όρο όμως έχουμε d_n(a_n) = 0

οπότε η ακολουθία d_n(a_n)

έχει τουλάχιστον $\ell+1$ μηδενικά, άτοπο.