IMC 2014/2/1

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 649
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Oxford, United Kingdom

IMC 2014/2/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Παρ Αύγ 01, 2014 5:49 pm

Για κάθε θετικό ακέραιο x, ορίζουμε d_n(x) να είναι το n-οστό ψηφίο του στη δεκαδική αναπαράσταση αυτού. Έστω a_n ακολουθία θετικών ακεραίων, έτσι ώστε η ακολουθία d_n(a_n) να έχει μόνο πεπερασμένο πλήθος μηδενικών. Δείξτε ότι υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι που δεν περιλαμβάνονται στην ακολουθία a_n.


Κολλιοπουλος Νικος -- Απόφοιτος ΣΕΜΦΕ - ΕΜΠ, Υποψήφιος διδάκτωρ στο πανεπιστήμιο της Οξφόρδης

https://www.maths.ox.ac.uk/people/nikolaos.kolliopoulos
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC 2014/2/1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Αύγ 01, 2014 6:35 pm

Ή κάτι δεν κατάλαβα καλά ή είναι εντελώς τετριμμένο: Έστω ότι όλοι οι θετικοί ακέραιοι εκτός από ακριβώς k περιέχονται στην ακολουθία a_n και ότι η ακολουθία d_n(a_n) έχει ακριβώς \ell μηδενικά. Παίρνω ακέραιο m ώστε 10^m - 1 - m > k + \ell. Υπάρχουν 10^m-1 φυσικοί με το πολύ m ψηφία. Τουλάχιστον 10^m - 1 - k > m + \ell από αυτούς εμφανίζονται στην ακολουθία. Άρα τουλάχιστον \ell + 1 από αυτούς είναι όροι της μορφής a_n για n > m. Για κάθε τέτοιο όρο όμως έχουμε d_n(a_n) = 0 οπότε η ακολουθία d_n(a_n) έχει τουλάχιστον \ell+1 μηδενικά, άτοπο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες