IMC 2014/2/2

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Peking University, Πεκίνο

IMC 2014/2/2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Παρ Αύγ 01, 2014 5:54 pm

Έστω A = (a_{ij})_{i,j=1}^{n} συμμετρικός πίνακας με πραγματικά στοιχεία. Έστω \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n οι ιδιοτιμές του. Δείξτε ότι:

\displaystyle{\sum_{1 \leq i \leq j \leq n}{a_{ii}a_{jj}} \geq \sum_{1 \leq i \leq j \leq n}{\lambda_{i}\lambda_{j}}}

Πότε ισχύει η ισότητα;


Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8586
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC 2014/2/2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Αύγ 01, 2014 7:01 pm

Και αυτό είναι απλό:

Είναι \displaystyle{ \sum_{i=1}^n a_{ii} = \mathrm{tr}(A) = \sum_{i=1}^n \lambda_i.} Παίρνοντας τετράγωνο σε αυτήν την ισότητα και αφαιρόντας από την ζητούμενη ανισότητα αρκεί να δείξουμε ότι

\displaystyle{ \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} \lambda_i \lambda_j \leqslant \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} a_{ii}a_{jj}}

(Ο πίνακας είναι συμμετρικός οπότε όλα τα \lambda_i είναι πραγματικοί και άρα όλες οι πράξεις που κάναμε έχουν νόημα.)

Είναι \det(A - xI) = (\lambda_1 - x) \cdots (\lambda_n - x) οπότε το (-1)^{n-2}\sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} \lambda_i \lambda_j είναι ο συντελεστής του x^{n-2} στο ανάπτυγμα του \det(A - xI). Όμως στο ανάπτυγμα

\displaystyle{\det(A - xI) = \sum_{\pi \in S_n} \mathrm{sign(\pi)} \prod_{i=1}^n (A-xI)_{i \pi(i)}}

Έχουμε εμφάνιση του συντελεστή x^{n-2} αν και μόνο αν το \pi είναι είτε ταυτοτικό είτε αντιμετάθεση. Αν \pi = \mathrm{id} τότε παίρνουμε τον συντελεστή \displaystyle{ (-1)^{n-2}\sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} a_{ii}a_{jj}. Για κάθε αντιμετάθεση \pi = (i \, j) παίρνουμε τον συντελεστή -(-1)^{n-2} a_{ij}a_{ji}

Άρα \displaystyle{ \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} \lambda_i \lambda_j = \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} a_{ii}a_{jj}  - \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} a_{ij}a_{ji}.  }

Αφού όμως ο πίνακας είναι συμμετρικός το \displaystyle{ \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} a_{ij}a_{ji}} είναι μη αρνητικό και άρα το ζητούμενο έπεται με ισότητα αν και μόνο αν a_{ij} = 0 για κάθε i \neq j, δηλαδή αν και μόνο αν ο A είναι διαγώνιος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης