IMC 2014/2/3

Nick1990 · #1

Έστω $f(x) = \frac{\sin x}{x}, x > 0$ . Έστω ακόμα

θετικός ακέραιος. Να δειχτεί ότι:

$|f^{(n)}(x)| < \frac{1}{n+1}$

(Με $f^{(n)}$ συμβολίζουμε τη

οστή παράγωγο της συνάρτησης

).

Zarifis · #2

Για να χαρούμε κι εμείς οι ΗΜΜΥτες .

$\displaystyle{\sin cx = \frac{{\sin x}}{\pi*x}}$ Η οποία έχει γνωστό μετασχημασμά Fourier.
Για κάθε μη-περιοδική συνάρτηση έχω ότι:
$\displaystyle{f(x) = \frac{1}{2 \pi}\int\limits_{ - \infty }^\infty {F(\omega ){e^{i\omega x}}} }$
Επίσεις:
$\displaystyle{f{(x)^{(n)}} -> {(i\omega )^n}F(\omega )}$
Και $\displaystyle{\overline{\overline F} (sincx) = X(\omega ) = 1,|\omega | < 1}$ και

στα υπόλοιπα σημεία.
Άρα έχουμε $\displaystyle{\pi|f{(x)^{(n)}}| = |\pi\frac{1}{{2\pi }}\int\limits_R {{{(i\omega )}^n}F(\omega ){e^{i\omega x}}} | = |\pi\frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - 1}^1 {{{(i\omega )}^n}{e^{i\omega x}}d\omega } | \le \pi\frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - 1}^1 {|{{(i\omega )}^n}||{e^{i\omega x}}} |d\omega }$
Άρα $\displaystyle{\pi |f{(x)^{(n)}}| \le \pi\frac{1}{\pi }\int\limits_0^1 {{\omega ^n}} d\omega }}$
$\displaystyle{|f{(x)^{(n)}}| \le \frac{1}{{n + 1}}}$

Edit1: To θέμα είναι πως οι παράγωγοι δεν ορίζονται στο 0 . Άρα είναι άκυρο.
Edit2: http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blur ... derint.pdf p10 , ακυρο το Edit1

#3

$\displaystyle{x>0,f(x)=(sinx)/x \Leftrightarrow xf(x)=sinx \Rightarrow (xf(x))^{(n)}=sin(n\pi/2+x) \Rightarrow nf^{(n-1)}(x)+xf^{(n)}(x)=sin(n\pi/2+x)}$

άρα $\displaystyle{-\frac{(-x)^{n-1}f^{(n-1)}(x)}{(n-1)!}+\frac{(-x)^{n}f^{(n)}}{n!}=\frac{(-x)^nsin(n\pi/2+x)}{n!}}$

οπότε αν $\displaystyle{\frac{(-x)^{n}f^{(n)}(x)}{n!}=a_n}$ θα έχουμε

$\displaystyle{a_n-a_{n-1}=\frac{(-x)^nsin(n\pi/2+x)}{n!}}$ τότε $\displaystyle{a_n=a_0+\sum_{1}^{n}{\frac{(-x)^ksin(k\pi/2+x)}{k!}}$ δηλαδή

$\displaystyle{\frac{(-x)^{n}f^{(n)}(x)}{n!}=sinx/x+\sum_{1}^{n}{\frac{(-x)^ksin(k\pi/2+x)}{k!}}$ ή

$\displaystyle{f^{(n)}(x)=(-1)^nn!x^{1-n}(sinx)+n!\sum_{1}^{n}{\frac{(-x)^{k-n}sin(k\pi/2+x)}{k!}}$

(προφανώς η f είναι άπειρες φορές παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{(0,+\infty)}$ )
ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ. ΕΙΝΑΙ Η ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΝΙΟΣΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. ΣΥΓΝΩΜΗ!

#4

Είναι

$\displaystyle{f(x)=\int_{0}^{1}\cos (tx)dt}$

και παραγωγίζοντας υπό το σύμβολο της ολοκλήρωσης, εύκολα βλέπουμε ότι

$\displaystyle{f^{(n)}(x)=(-1)^n\int_{0}^{1}t^n\cos (tx)dt.}$

Επομένως είναι

$\displaystyle{|f^{(n)}(x)|=\left|\int_{0}^{1}t^n\cos (tx)dt\right|<\int_{0}^{1}t^ndt=\frac{1}{n+1}.}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Η συνάρτηση είναι άπειρες φορές παραγωγίσημη.
Γιατί αν την βάλουμε στο μηδέν τιμή ένα μπορούμε να την αναπτύξουμε σε δυναμοσειρά.
Η λύση του Zarifis είναι σωστή αλλά με βαριά εργαλεία.
Η λύση του Θάνου είναι καταπληκτική.

#6

Όντως είναι ωραία η απόδειξη αυτή Σταύρο. Την ξαναείδαμε εδώ.

#7

Καλησπέρα σας!

Άλλη μια απόδειξη υπάρχει κι εδώ.

Η 2η στην παραπάνω παραπομπή είναι ίδια με αυτή του Θάνου.

Όπως αποδεικνύει και το link της λύσης του 2012 του Θάνου, το πρόβλημα αυτό ήταν "γνωστό" και μάλλον "ακατάλληλο" για τον IMC(?).

Παρεμπιπτόντως, επειδή πρόσφατα χρειάστηκα παραγώγιση υπό το σύμβολο της ολοκλήρωσης, μια τεχνική που έχει εμφανιστεί πολλές φορές στο forum,
μια σχετική εργασία που μου άρεσε είναι του Keith Conrad που είναι διαθέσιμη εδώ.

Φιλικά,

Αχιλλέας

IMC 2014/2/3

IMC 2014/2/3

Re: IMC 2014/2/3

Re: IMC 2014/2/3

Re: IMC 2014/2/3

Re: IMC 2014/2/3

Re: IMC 2014/2/3

Re: IMC 2014/2/3

Μέλη σε σύνδεση