Vojtech Jarnik 2015/2 Category I

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8237
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Vojtech Jarnik 2015/2 Category I

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Απρ 25, 2015 3:49 pm

Έχουμε μια άπειρη σκακιέρα με τις γραμμές και στήλες να έχουν δείκτες στους θετικούς ακεραίους. Μπορούμε να βάλουμε σε κάθε τετραγωνάκι ένα θετικό ρητό ώστε κάθε θετικός ρητός να εμφανίζεται ακριβώς μία φορά και κάθε γραμμή και στήλη να έχει πεπερασμένο άθροισμα;


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11469
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Vojtech Jarnik 2015/2 Category I

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Απρ 25, 2015 5:36 pm

Demetres έγραψε:Έχουμε μια άπειρη σκακιέρα με τις γραμμές και στήλες να έχουν δείκτες στους θετικούς ακεραίους. Μπορούμε να βάλουμε σε κάθε τετραγωνάκι ένα θετικό ρητό ώστε κάθε θετικός ρητός να εμφανίζεται ακριβώς μία φορά και κάθε γραμμή και στήλη να έχει πεπερασμένο άθροισμα;
Μόλις έφτασα στα όμορφα Χανιά για δύο ομιλίες που έχω αύριο. Έχω λίγο δυσκολία με την σύνδεση στο ιντερνέτ, και ελπίζω να καταφέρω να στείλω το μήνυμα.

Ενδιαφέρον το πρόβλημα. Μπορούμε να διευθετήσουμε τους ρητούς, ως άνω:

Γράφουμε τους ρητούς ως ακολουθία. Τους τοποθετούμε όλους πλην των ρητών της μορφής 1/2^n πάνω στην κύρια διαγώνιο, χωρίς κενά. Λόγω αριθμησιμότητας, μπορούμε να το καταφέρουμε. Έτσι εξασφαλίσαμε ότι "η μερίδα του λέοντος" των ρητών μπήκε από μία φορά ο καθένας στην σκακιέρα μας. Τους υπόλοιπους τους σκορπάμε κατά βούληση στα υπόλοιπα (αριθμήσιμα το πλήθος τετραγωνάκια). Τώρα, κάθε γραμμή και κάθε στήλη έχει πεπερασμένο άθροισμα καθώς (με εξαίρεση έναν αριθμό) είναι θετικοί που συγκλίνουν ως υποσύνολο της συγκλίνουσας \sum \frac {1}{2^n} .

Φιλικά,

Μιχάλης


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες