IMC 2015/1/1

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2015/1/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Ιούλ 29, 2015 11:04 pm

Έστω ακέραιος n\geqslant 2 και δύο n\times n πραγματικοί πίνακες A,\; B που ικανοποιούν την εξίσωση

\displaystyle{A^{-1}+B^{-1}=(A+B)^{-1}.}

Να δειχθεί ότι \det (A)=\det(B).

Ισχύει το ίδιο συμπέρασμα αν οι πίνακες είναι μιγαδικοί;


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13158
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: IMC 2015/1/1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιούλ 30, 2015 12:11 am

Demetres έγραψε:Έστω ακέραιος n\geqslant 2 και δύο n\times n πραγματικοί πίνακες A,\; B που ικανοποιούν την εξίσωση

\displaystyle{A^{-1}+B^{-1}=(A+B)^{-1}.}

Να δειχθεί ότι \det (A)=\det(B).

Ισχύει το ίδιο συμπέρασμα αν οι πίνακες είναι μιγαδικοί;
Από την δοθείσα έχουμε

\displaystyle{(A+B)(A^{-1}+B^{-1})=I} άρα

\displaystyle{I + AB^{-1} +BA^{-1}=O}

Πολλαπλασιάζοντας από δεξιά επί B έπεται \displaystyle{B + A=  -BA^{-1}B}

'Ομοια (ή λόγω συμμετρίας) είναι επίσης \displaystyle{B + A=  -AB^{-1}A}. Συγκρίνοντας είναι

\displaystyle{BA^{-1}B=  AB^{-1}A}. Παίρνοντας ορίζουσες έπεται \displaystyle{ |A|^3=|B|^3}

από όπου (για πραγματικούς πίνακες) |A|=|B|, όπως θέλαμε.

Για μιγαδικούς πίνακες δεν ισχύει κατ' ανάγκη το ζητούμενο όπως διαπιστώνουμε λαμβάνοντας
A=\omega I, \, B = \omega ^2 I , όπου \omega μιγαδική τρίτη ρίζα της μονάδας: Ισχύει η αρχική λόγω των \frac {1}{\omega} = \omega ^2, \, \omega + \omega ^2 =-1, αλλά |A|=\omega ^n, \, |B| = \omega ^{2n} που δεν είναι ίσα αν n=2.

Φιλικά,

Μιχάλης


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης