IMC 2015/1/3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8586
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2015/1/3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Ιούλ 29, 2015 11:12 pm

Έστω F(0)=0, F(1)=\frac{3}{2} και F(n)=\frac{5}{2}F(n-1)-F(n-2) για n\geqslant 2.

Να εξεταστεί αν ο \displaystyle{\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\,\frac{1}{F(2^n)}}} είναι ρητός ή όχι.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13143
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: IMC 2015/1/3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Αύγ 03, 2015 12:40 am

Demetres έγραψε:Έστω F(0)=0, F(1)=\frac{3}{2} και F(n)=\frac{5}{2}F(n-1)-F(n-2) για n\geqslant 2.

Να εξεταστεί αν ο \displaystyle{\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\,\frac{1}{F(2^n)}}} είναι ρητός ή όχι.
Μάλλον εύκολη δια διαγωνισμό φοιτητών αφού η λύση αποτελείται από δύο ανεξάρτητα μέρη, γνωστά και απλά και τα δύο:

Η γραμμική αναδρομική σχέση έχει χαρακτηριστική εξίσωση την x^2=\frac {5}{2} x -1 της οποίας οι ρίζες είναι 2 και \frac {1}{2}. Άρα F(n) = 2^nA + \frac {B}{2^n}. Λαμβάνοντας υπόψη τις δύο αρχικές τιμές καταλήγουμε
στην F(n) = 2^n- \frac {1}{2^n}. Άρα το δοθέν άθροισμα είναι το \displaystyle{\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\,\frac{1}{2^{2^n} - \frac {1}{2^{2^n}}  }= \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\,\frac{2^{2^n}}{2^{2^{n+1}} -1 }}

Για να βρούμε το άθροισμα εργαζόμαστε με τηλεσκοπική μέθοδο: Μπορούμε λίγο γενικότερα (και δεν αμφιβάλλω ότι έχουμε δει παρόμοιο στο φόρουμ, άλλωστε είναι αρκετά κοινό στην βιβλιογραφία) να πούμε για a>1

\displaystyle{\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\,\frac{a^{2^n}}{a^{2^{n+1}} -1 } = \sum_{n=0}^{\infty}\,\frac{a^{2^n}+1-1}{a^{2^{n+1}} -1 }  = \sum_{n=0}^{\infty}\,\left  ( \frac{1}{a^{2^{n}}-1 } -  \frac{1}{a^{2^{n+1}}-1}\right ) = \frac {1}{a-1}} και λοιπά.

Μ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες