IMC 2015/1/4

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2015/1/4

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Ιούλ 29, 2015 11:16 pm

Να εξεταστεί αν υπάρχουν 15 ακέραιοι m_1,\ldots,m_{15} έτσι ώστε

\displaystyle{\displaystyle \sum_{k=1}^{15}\,m_k\cdot\arctan(k) = \arctan(16). }


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13165
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: IMC 2015/1/4

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιούλ 31, 2015 10:18 pm

Demetres έγραψε:Να εξεταστεί αν υπάρχουν 15 ακέραιοι m_1,\ldots,m_{15} έτσι ώστε

\displaystyle{\displaystyle \sum_{k=1}^{15}\,m_k\cdot\arctan(k) = \arctan(16). }
Θα δούμε ότι το ζητούμενο είναι αδύνατο.

Ας υποθέσουμε ότι, αντιθέτως, υπάρχουν ακέραιοι m_1,\ldots,m_{15} με

\displaystyle{\displaystyle \sum_{k=1}^{15}\,m_k\arctan(k) = \arctan(16) }. Τότε

\displaystyle{ \arg ( 1+ 16i) =  \arctan(16)= \displaystyle {\sum_{k=1}^{15}\,m_k\arctan(k) = \arg  \prod _{k=1}^{15}(1+ki)^{m_k} ,\, (*)}

Έπεται ότι υπάρχει σταθερά c με \displaystyle{ 1+16i =c \prod _{k=1}^{15}(1+ki)^{m_k}, \, (**)}.

Εκτελώντας τις πράξεις στο δεξί μέλος παίρνει την μορφή \displaystyle{ 1+16i =c (P+iQ) \, (**)} όπου P,Q ρητοί (Αν θέλουμε λίγη περισσότερη εξήγηση είναι η εξής: Μαζεύοντας τους θετικούς και χωριστά τους αρνητικούς εκθέτες, το γινόμενο στο δεξί μέλος μετά τις πράξεις παίρνει την μορφή \frac {A+iB}{C+iD} όπου A,B,C,D ακέραιοι και άρα την μορφή P+iQ , όπου P,Q ρητοί.)

Συγκρίνοντας τα πραγματικά (ή τα μιγαδικά) μέρη της τελευταίας έπεται ότι c ρητός, έστω c=\frac {p}{q}. Με άλλα λόγια έχουμε

\displaystyle{ 1+16i =\frac {p}{q} \prod _{k=1}^{15}(1+ki)^{m_k}, \, (**)}

Παίρνοντας μέτρα στην τελευταία έχουμε

\displaystyle{\sqrt {1+16^2} = \frac {|p|}{|q|}\prod _{k=1}^{15}(\sqrt {1+k^2})^{m_k},}

και άρα, υψώνοντας στο τετράγωνο,

\displaystyle{257 = \frac {p^2}{q^2}\prod _{k=1}^{15}(1+k^2)^{m_k}

Παρατηρούμε ότι ο 257 είναι πρώτος. Από την άλλη οι πρώτοι παράγοντες στο γινόμενο \displaystyle{\prod _{k=1}^{15}(1+k^2)^{m_k} δεξιά είναι το πολύ 1+15^2 < 257, οπότε ο 257 στο δεξί μέλος εμφανίζεται το πολύ μέσα στα p^2, q^2. Συμπεραίνουμε ότι ο 257 υπάρχει άρτιο πλήθος φορών (ίσως 0) στο δεξί μέλος αλλά μόνο μία στο αριστερό. Αυτό αντιβαίνει στην μοναδικότητα της ανάλυσης σε πρώτους.

Το άτοπο ολοκληρώνει την απόδειξη.

Φιλικά,

Μιχάλης


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης