IMC 2015/1/5

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2015/1/5

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Ιούλ 29, 2015 11:22 pm

Έστω ακέραιος n\geqslant 2 και n+1 σημεία A_1,A_2,\ldots,A_{n+1} στο \mathbb{R}^n, όχι όλα στο ίδιο υπερεπίπεδο. Έστω επίσης B ένα σημείο αυστηρά μέσα στην κυρτή θήκη των A_1,A_2,\ldots,A_{n+1}.

Να αποδειχθεί ότι το \angle A_iBA_j > 90^\circ ισχύει για τουλάχιστον n ζεύγη (i,j) με 1 \leqslant i < j \leqslant n+1.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC 2015/1/5

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιούλ 30, 2015 10:34 am

Ωραίο.

Έστω v_i = \overrightarrow{BA_i} για 1 \leqslant i \leqslant n. Θέλουμε να βρούμε n ζεύγη ώστε v_i \cdot v_j < 0.

Επειδή το B είναι αυστηρά μέσα στην κυρτή θήκη, υπάρχουν \lambda_1,\ldots,\lambda_{n+1} > 0 με \sum \lambda_i = 1 ώστε \displaystyle{ \overrightarrow{OB} = \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i \overrightarrow{OA_i}.}

Αυτή η σχέση δίνει \displaystyle{ \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i v_i  = 0.}

Σχηματίζω ένα γράφημα με κορυφές 1,\ldots,n+1 όπου συνδέω την i με την j αν και μόνο αν v_i \cdot v_j < 0. Αρκεί να δείξω ότι το γράφημα είναι συνεκτικό αφού τότε θα έχω τουλάχιστον n ακμές.

Έστω λοιπόν ότι δεν είναι συνεκτικό και έστω δύο (μη κενά) ξένα σύνολα κορυφών A,B με A \cup B = \{1,\ldots,n+1\} και καμία ακμή μεταξύ των A και B. Έχω

\displaystyle{ \sum_{i \in A} \lambda_i v_i = -\sum_{j\in B} \lambda_jv_j}

Παίρνοντας εσωτερικό γινόμενο με το \displaystyle{\sum_{j\in B} \lambda_jv_j} το αριστερό μέλος είναι μη αρνητικό (αφού τα \lambda_i είναι θετικά και αφού δεν υπάρχει ακμή μεταξύ των A και B) αλλά το δεξί είναι θετικό (*), άτοπο.

Αν το δεξί μέλος δεν ήταν θετικό τότε θα είχαμε \displaystyle{\sum_{j\in B} \lambda_jv_j = \mathbf{0}} και αυτό θα έδινε \displaystyle{ \overrightarrow{OB} = \sum_{j \in B} \frac{\lambda_j}{\sum_{j \in B}\lambda}\overrightarrow{OA_i}}. Τότε όμως το B δεν θα ήταν αυστηρά μέσα στην κυρτή θήκη, άτοπο.

Δεν χρησιμοποιήσαμε (νομίζω) ότι τα A_i δεν ανήκουν στο ίδιο υπερεπίπεδο.


Στο κοκκινισμένο σημείο υπάρχει λάθος. Δείτε την επόμενη ανάρτηση για την διόρθωση. (Ευχαριστώ τον Ηλία Ζαδίκ που το πρόσεξε.)


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC 2015/1/5

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Ιούλ 31, 2015 9:56 am

Ας γράψω u_i = \overrightarrow{OA_i}. Μέχρι στιγμής έχω βρει \lamda_i και m_i ώστε

\displaystyle{ \sum \lambda_i u_i = \sum \mu_i u_i} με \displaystyle{\sum \lambda_i = \sum \mu_i = 1} αλλά ενώ τα \lambda_i είναι όλα μεγαλύτερα από 0, κάποια \mu_i είναι ίσα με 0.

Οπότε υπάρχουν \nu_i όχι όλα 0 ώστε \displaystyle{\sum \nu_i = 0 } και \displaystyle{\sum \nu_i u_i = 0.} Από εδώ παίρνω

\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \nu_i (u_i - u_{n+1}) =\sum_{i=1}^{n} \nu_i u_i - \sum_{i=1}^{n} \nu_i u_{n+1} = (-\nu_{n+1}u_{n+1}) - u_{n+1}(-\nu_{n+1}) = 0  }

Αυτό σημαίνει ότι τα διανύσματα \overrightarrow{A_1A_{n+1}}, \ldots , \overrightarrow{A_nA_{n+1}} είναι γραμμικώς εξαρτημένα. Άρα τα σημεία A_1,\ldots,A_{n+1} ανήκουν στο ίδιο υπερεπίπεδο, άτοπο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες