IMC 2015/2/2

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2015/2/2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Ιούλ 31, 2015 9:58 am

Να υπολογιστεί το

\displaystyle{ \lim_{A\to+\infty}\frac1A\int_1^A 
A^{\frac1x}\, dx . }


Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: IMC 2015/2/2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Σάβ Αύγ 01, 2015 3:34 pm

\begin{aligned}\lim_{A\to+\infty}\frac1A\int_1^AA^{\frac1x}\,dx&\stackrel{\ln A=xt}{\!=\!=\!=}\lim_{A\to+\infty}\frac{\int_{1}^{\ln A}t^{-2}e^{t}\,dt-\int_{1}^{\frac{\ln A}{A}}t^{-2}e^{t}\,dt}{\frac{A}{\ln A}} \notag \\&\stackrel{(*)}{=}\lim_{A\to+\infty}\frac{d\left(\int_{1}^{\ln A}t^{-2}e^{t}\,dt-\int_{1}^{\frac{\ln A}{A}}t^{-2}e^{t}\,dt\right)/dA}{d\left(\frac{A}{\ln A}\right)/dA}\notag \\ &=\lim_{A\to+\infty}\frac{1+A^{1/A}(\ln A-1)}{\ln A-1}=1\end{aligned}

(*) Από ισχυρό De l' Hospital.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: IMC 2015/2/2

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Κυρ Αύγ 02, 2015 11:39 pm

Δείξτε ότι \displaystyle{\int_{1}^{A}A^{1/x}\,dx=A+\color{red}2\color{black}A\ln^{-1}A+\mathcal O\left(A\ln^{-2}A\right)\qquad A\to+\infty}.

Διορθώθηκε το κόκκινο σημείο.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13158
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: IMC 2015/2/2

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Αύγ 19, 2015 10:23 pm

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Δείξτε ότι \displaystyle{\int_{1}^{A}A^{1/x}\,dx=A+\color{red}2\color{black}A\ln^{-1}A+\mathcal O\left(A\ln^{-2}A\right)\qquad A\to+\infty}.

Διορθώθηκε το κόκκινο σημείο.
Αναστάση, βάζω στο δεξί μέλος \displaystyle{A+A\ln^{-1}A+\mathcal O\left(A\ln^{-2}A\right),} δηλαδή όσο ήταν πριν την διόρθωση. Κάνω λάθος;

Γράφοντας \displaystyle{A^{1/x} = e^ {\frac {\ln A} {x}} και κάνοντας την αλλαγή μεταβλητής \displaystyle{\frac {\ln A} {x}=y}, το δοθέν ολοκλήρωμα γράφεται

\displaystyle{\int_{1}^{A}A^{1/x}\,dx=  \ln A \int_{\frac {\ln A}{A}}^{\ln A} \frac {e^y}{y^2}\,dy}.

Το ολοκλήρωμα στο δεξί μέλος το κόβουμε στα δύο και θα δείξουμε ότι

α) \displaystyle{\ln A \int_{\frac {\ln A}{A}}^{1} \frac {e^y}{y^2}\,dy = A +\mathcal O\left(\ln^{2}A\right) } και

β) \displaystyle{\ln A \int_{1}^{\ln A} \frac {e^y}{y^2}\,dy = \frac {A}{\ln A}  +\mathcal O\left( \frac {A} {\ln^{2}A}\right) }

που με πρόσθεση κατά μέλη δίνει το ζητούμενο (με την διόρθωσή (;) μου). Έχουμε

α) \displaystyle{\ln A \int_{\frac {\ln A}{A}}^{1} \frac {e^y}{y^2}\,dy = \ln A \int_{\frac {\ln A}{A}}^{1} \frac {1+ y + \mathcal O\left( y^2\right) }{y^2}\,dy }

\displaystyle{ \, ~= \ln A \left ( \left [  -\frac {1}{y}\right ]_{\frac {\ln A}{A}}^{1} +\left [  \ln y\right ]_{\frac {\ln A}{A}}^{1} + \mathcal O\left( 1 \right ) \right ) }

\displaystyle{ \, ~= \ln A \left ( \frac {A}{\ln A}} -1  -(  \ln \ln A - \ln A )+ \mathcal O\left( 1 \right ) \right )  = A +\mathcal O\left(\ln^{2}A\right) }

Επίσης, με δύο φορές ολοκλήρωση κατά μέλη έχουμε

β) \displaystyle{\ln A \int_{1}^{\ln A} \frac {e^y}{y^2}\,dy = \ln A \left ( \left [  \frac {e^y}{y^2}\right ]_{1}^{\ln A}  +2  \left [  \frac {e^y}{y^3}\right ]_{1}^{\ln A} +    6 \int_{1}^{\ln A} \frac {e^y}{y^4}\,dy\right ) }

\displaystyle{ = \ln A \left (   \frac {A}{ \ln ^2 A} -1  +2   \frac {A}{\ln ^3 A} - 2 +     6 \int_{1}^{\ln A} \frac {e^y}{y^4}\,dy \right ) ,\, ~ (*)}

Όμως από Θ.Μ.Τ. το δεξί ολοκλήρωμα στην (*) ισούται με \displaystyle{  \frac {e^{\xi }}{\xi ^4}(\ln A -1) ,\, ~(**)}. Όμως παραγωγίζοντας βλέπουμε ότι η \displaystyle{ \frac {e^{t }}{t ^4}} είναι αύξουσα (για t\ge 4), οπότε η (**) είναι

\displaystyle{ \le  \frac {e^{\ln A }}{\ln ^4 Α}(\ln A -1) =  \mathcal O\left( \frac {A} {\ln^{3}A}\right)}

Θέτοντας αυτά στην (*) έπεται ότι το δεξί μέλος είναι \displaystyle{ =   \frac {A}{ \ln  A}  + \mathcal O\left(\frac {A} {\ln^{2}A}\right)}, όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης


Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: IMC 2015/2/2

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Παρ Απρ 29, 2016 5:47 pm



Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης