IMC 2015/2/3
Συντονιστής: Demetres
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
IMC 2015/2/3
Θεωρούμε τις λέξεις μήκους στο Λατινικό αλφάβητο. Το βάρος μια λέξης είναι , όπου ο αριθμός των γραμμάτων που δεν εμφανίζονται στην λέξη. Να δειχθεί ότι το άθροισμα των βαρών όλων των λέξεων είναι .
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: IMC 2015/2/3
Πανέμορφο.
Βάζουμε ένα καινούργιο γράμμα στο αλφάβητο. Θεωρούμε όλες τις λέξεις μήκους 26 που παίρνουμε σε αυτό το αλφάβητο. Από κάθε μία παίρνουμε ομοιόμορφα στην τύχη ένα γράμμα που δεν εμφανίζεται στην λέξη.
Ο προσδοκόμενος αριθμός των εμφανίσεων του γράμματος είναι ακριβώς το ζητούμενο άθροισμα βαρών. Ασφαλώς το είναι το ίδιο για οποιοδήποτε γράμμα. Οπότε και άρα .
Βάζουμε ένα καινούργιο γράμμα στο αλφάβητο. Θεωρούμε όλες τις λέξεις μήκους 26 που παίρνουμε σε αυτό το αλφάβητο. Από κάθε μία παίρνουμε ομοιόμορφα στην τύχη ένα γράμμα που δεν εμφανίζεται στην λέξη.
Ο προσδοκόμενος αριθμός των εμφανίσεων του γράμματος είναι ακριβώς το ζητούμενο άθροισμα βαρών. Ασφαλώς το είναι το ίδιο για οποιοδήποτε γράμμα. Οπότε και άρα .
Re: IMC 2015/2/3
Ας βάλω μία άλλη σχετικά σύντομη αλλά πιο τεχνική λύση (αν και μετά τη λύση του κύριου Δημήτρη περιττεύει). Για ένα αλφάβητο γραμμάτων, το άθροισμα των βαρών των λέξεων μήκους είναι
Ας εξηγήσω. Οι λέξεις που χρησιμοποιούνται ακριβώς γραμματά ορίζονται αμφιμονοσήμαντα διαμερίζοντας τις θέσεις ως σε μέρη (στις θέσεις κάθε μέρους θα μπει το ίδιο γράμμα) και έπειτα επιλέγοντας μια -αδα γραμμάτων από τα που θα βάλουμε στη λέξη και τοποθετώντας τα στα μέρη με τρόπους. Τέλος πολλαπλασιάσαμε με το βάρος.
Άρα,
,
όπου χρησιμοποιήθηκε η γνωστή ταυτότητα για .
Ας εξηγήσω. Οι λέξεις που χρησιμοποιούνται ακριβώς γραμματά ορίζονται αμφιμονοσήμαντα διαμερίζοντας τις θέσεις ως σε μέρη (στις θέσεις κάθε μέρους θα μπει το ίδιο γράμμα) και έπειτα επιλέγοντας μια -αδα γραμμάτων από τα που θα βάλουμε στη λέξη και τοποθετώντας τα στα μέρη με τρόπους. Τέλος πολλαπλασιάσαμε με το βάρος.
Άρα,
,
όπου χρησιμοποιήθηκε η γνωστή ταυτότητα για .
Μιχάλης Σαράντης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες