Σελίδα 1 από 1
IMC 2015/2/3
Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιούλ 31, 2015 10:02 am
από Demetres
Θεωρούμε τις
λέξεις μήκους
στο Λατινικό αλφάβητο. Το βάρος μια λέξης είναι
, όπου
ο αριθμός των γραμμάτων που δεν εμφανίζονται στην λέξη. Να δειχθεί ότι το άθροισμα των βαρών όλων των λέξεων είναι
.
Re: IMC 2015/2/3
Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιούλ 31, 2015 10:40 am
από Demetres
Πανέμορφο.
Βάζουμε ένα καινούργιο γράμμα
στο αλφάβητο. Θεωρούμε όλες τις
λέξεις μήκους 26 που παίρνουμε σε αυτό το αλφάβητο. Από κάθε μία παίρνουμε ομοιόμορφα στην τύχη ένα γράμμα που δεν εμφανίζεται στην λέξη.
Ο προσδοκόμενος αριθμός
των εμφανίσεων του γράμματος
είναι ακριβώς το ζητούμενο άθροισμα βαρών. Ασφαλώς το
είναι το ίδιο για οποιοδήποτε γράμμα. Οπότε
και άρα
.
Re: IMC 2015/2/3
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Αύγ 01, 2015 9:42 pm
από Ilias_Zad
Πολύ ωραία λύση Δημήτρη!
Re: IMC 2015/2/3
Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιούλ 27, 2017 3:29 pm
από Mikesar
Ας βάλω μία άλλη σχετικά σύντομη αλλά πιο τεχνική λύση (αν και μετά τη λύση του κύριου Δημήτρη περιττεύει). Για ένα αλφάβητο
γραμμάτων, το άθροισμα των βαρών των λέξεων μήκους
είναι
Ας εξηγήσω. Οι λέξεις που χρησιμοποιούνται ακριβώς
γραμματά ορίζονται αμφιμονοσήμαντα διαμερίζοντας τις θέσεις
ως
σε
μέρη (στις θέσεις κάθε μέρους θα μπει το ίδιο γράμμα) και έπειτα επιλέγοντας μια
-αδα γραμμάτων από τα
που θα βάλουμε στη λέξη και τοποθετώντας τα στα μέρη με
τρόπους. Τέλος πολλαπλασιάσαμε με το βάρος.
Άρα,
,
όπου χρησιμοποιήθηκε η γνωστή ταυτότητα
για
.