Putnam 2015/B1

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Putnam 2015/B1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Δεκ 08, 2015 5:31 pm

Έστω f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} μια τρεις φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση με τουλάχιστον πέντε διακεκριμένες ρίζες. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση f+6f'+12f''+8f''' έχει τουλάχιστον δύο διακεκριμένες ρίζες.


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6167
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Putnam 2015/B1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τρί Δεκ 08, 2015 5:39 pm

Demetres έγραψε:Έστω f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} μια τρεις φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση με τουλάχιστον πέντε διακεκριμένες ρίζες. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση f+6f'+12f''+8f''' έχει τουλάχιστον δύο διακεκριμένες ρίζες.
Άμεσο από διαδοχικά Rolle στην

\displaystyle{e^{\frac{x}{2}}f(x).}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3862
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Putnam 2015/B1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Δεκ 08, 2015 5:40 pm

Demetres έγραψε:Έστω f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} μια τρεις φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση με τουλάχιστον πέντε διακεκριμένες ρίζες. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση f+6f'+12f''+8f''' έχει τουλάχιστον δύο διακεκριμένες ρίζες.
Γεια σου Δημήτρη. Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση g(x)=8e^{x/2} f(x) (η συνάρτηση βρίσκεται κατά τα κλασσικά και έτσι τη βρήκα)παρατηρούμε ότι οι ρίζες της f είναι ακριβώς οι ρίζες της g. Από το κανόνα γινομένου έχουμε ότι:

\displaystyle{g'''(x)=e^{x/2}(f(x)+6f'(x)+12f''(x)+8f'''(x))}

Συνεπώς η g έχει τουλάχιστον 5 διακεκριμένες ρίζες. Άρα απο Rolle η g' έχει τουλάχιστον 4 διακεκριμένες ρίζες και κατά συνέπεια η g'' τουλάχιστον 3 και η g''' τουλάχιστον 2. Όμως οι ρίζες της g''' είναι ακριβώς οι ρίζες της:

\displaystyle{f+6f'+12f''+8f'''}

και κάπως έτσι τελειώσαμε.
τελευταία επεξεργασία από Tolaso J Kos σε Τρί Δεκ 08, 2015 5:42 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Putnam 2015/B1

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Δεκ 08, 2015 5:42 pm

Άμεσες απαντήσεις. Ας όψεται η Γ' Λυκείου.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3862
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Putnam 2015/B1

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Δεκ 08, 2015 5:44 pm

Demetres έγραψε:Ας όψεται η Γ' Λυκείου.
:) Πράγματι, το διαπίστωσα εχθές που κοιτούσα το θέμα.

Υ.Σ: Στην απάντηση διορθώθηκαν κάποια typos που έκανα γράφοντας γρήγορα την απάντηση.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11143
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Putnam 2015/B1

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Δεκ 08, 2015 8:15 pm

Tolaso J Kos έγραψε: Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση g(x)=8e^{x/2} f(x) (η συνάρτηση βρίσκεται κατά τα κλασσικά και έτσι τη βρήκα)παρατηρούμε ότι οι ρίζες της f είναι ακριβώς οι ρίζες της g. Από το κανόνα γινομένου έχουμε ότι:

\displaystyle{g'''(x)=e^{x/2}(f(x)+6f'(x)+12f''(x)+8f'''(x))}

Συνεπώς η g έχει τουλάχιστον 5 διακεκριμένες ρίζες. Άρα απο Rolle η g' έχει τουλάχιστον 4 διακεκριμένες ρίζες και κατά συνέπεια η g'' τουλάχιστον 3 και η g''' τουλάχιστον 2. Όμως οι ρίζες της g''' είναι ακριβώς οι ρίζες της:

\displaystyle{f+6f'+12f''+8f'''}

και κάπως έτσι τελειώσαμε.
Βλέπε εδώ

Ουδέν σχόλιο.
Συνημμένα
AOPS.png
AOPS.png (18.2 KiB) Προβλήθηκε 498 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες