Vojtech Jarnik 1991/3 Category I

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Vojtech Jarnik 1991/3 Category I

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Φεβ 14, 2016 4:25 pm

Να υπολογιστεί το όριο

\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \left( (\sqrt{3}+1)^n - [(\sqrt{3}+1)^n] \right)}

όπου με [x] εννοούμε το ακέραιο μέρος του x.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11143
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Vojtech Jarnik 1991/3 Category I

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Φεβ 14, 2016 11:02 pm

Demetres έγραψε:Να υπολογιστεί το όριο

\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \left( (\sqrt{3}+1)^n - [(\sqrt{3}+1)^n] \right)}

όπου με [x] εννοούμε το ακέραιο μέρος του x.
Νομίζω κάτι δεν πάει καλά με την άσκηση, εκτός αν έκανα λάθος με πρόσημα.

Προτείνω την διόρθωση: Το όριο είναι 1 αν πάρουμε το n να τείνει στο άπειρο μέσω
άρτιων τιμών, και 0 μέσω περιττών.

Από το ανάπτυγμα του διωνύμου είναι \displaystyle{(\sqrt{3}+1)^n= A+B\sqrt 3}, όπου A,B φυσικοί.

α) n άρτιος. Εύκολα βλέπουμε ότι για τα ίδια A,B είναι \displaystyle{(\sqrt{3}-1)^n= A-B\sqrt 3} οπότε \displaystyle{(\sqrt{3}+1)^n+(\sqrt{3}-1)^n= 2A=} φυσικός. Δεδομένου ότι \displaystyle{(\sqrt{3}-1)^n\to 0} και

\displaystyle{ [(\sqrt{3}+1)^n] < (\sqrt{3}+1)^n< (\sqrt{3}+1)^n+(\sqrt{3}-1)^n \in \mathbb N } έχουμε

\displaystyle{ (\sqrt{3}+1)^n+(\sqrt{3}-1)^n =[(\sqrt{3}+1)^n]+1} .

Άρα \displaystyle{  (\sqrt{3}+1)^n- [(\sqrt{3}+1)^n]=1- (\sqrt{3}-1)^n \to 1}

b) n περιττός. Η διαδικασία είναι όμοια με πριν μόνο που τώρα \displaystyle{(\sqrt{3}-1)^n= -A+B\sqrt 3} , οπότε \displaystyle{ (\sqrt{3}+1)^n-(\sqrt{3}-1)^n =[(\sqrt{3}+1)^n]} και άρα

\displaystyle{  (\sqrt{3}+1)^n- [(\sqrt{3}+1)^n]= (\sqrt{3}-1)^n \to 0}

Ελπίζω να μην έκανα λάθος αλλά ... η κούραση των ημερών (δίδαξα σε 2 σεμινάρια Αθήνα/Θεσσαλονίκη συν δημόσια ομιλία το διήμερο που πέρασε, όλα εκτός έδρας).


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Vojtech Jarnik 1991/3 Category I

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Φεβ 14, 2016 11:20 pm

Μιχάλη, το παρατήρησα και εγώ αλλά έτσι ήταν η άσκηση.

Υποψιάζομαι ότι όντως κάτι πήγε λάθος με την άσκηση. Θα ήταν καλύτερα αν ζητούσε το όριο

\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \left( (\sqrt{3}+2)^n - [(\sqrt{3}+2)^n] \right)}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες