SEEMOUS 2015/2

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
emouroukos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1417
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

SEEMOUS 2015/2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Κυρ Μαρ 08, 2015 10:48 pm

2) Για κάθε θετικό ακέραιο n, θεωρούμε τις συναρτήσεις f_n :\mathbb{R} \rightarrow\mathbb{R}, που ορίζονται από την αναδρομική σχέση f_{n+1}(x)=f_1 (f_n (x)), όπου f_1 (x)=3x-4x^3.

Να λυθεί η εξίσωση f_n (x)=0.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2263
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: SEEMOUS 2015/2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Παρ Μαρ 13, 2015 9:13 am

ΘΕΜΑ 2
Αν \displaystyle{x>1\Rightarrow f_1(x)<-1}διότι : \displaystyle{f(x)+1=-(x-1)(1+2x)^2}

Αν \displaystyle{x<-1\Rightarrow f_1(x)>1}διότι : \displaystyle{f(x)-1=-(x+1)(-1+2x)^2}

Δηλαδή αν \displaystyle{x\not\in [-1,1]\Rightarrow f_1(x)\not\in [-1,1]}

Επαγωγικά τώρα αν \displaystyle{f_{n-1}(x)\not\in [-1,1]\Rightarrow f_1(f_{n-1}(x))\not\in [-1,1]\Rightarrow f_{n}(x)\not\in [-1,1]}

Άρα εκτός του \displaystyle{[-1,1]} η εξίσωση \displaystyle{f_n(x)=0} είναι αδύνατη

αν \displaystyle{-1\le x\le 1\Rightarrow x=sint\Rightarrow f_1(x)=sin3t,f_2(x)=sin(9t),...} ευκολα επαγωγικά \displaystyle{f_n(x)=sin(3^nt)}

η εξίσωση \displaystyle{f_n(x)=0} έχει λ'υσεις τις
\displaystyle{x=Arcsin(k\pi /3^n),k\in Z}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης