SEEMOUS 2015/1

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
emouroukos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1417
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

SEEMOUS 2015/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Κυρ Μαρ 08, 2015 10:48 pm

1) Να αποδειχθεί ότι για κάθε x\in (0,1) ισχύει η ανισότητα:

\displaystyle{\int_{0}^{1}\sqrt{1+\cos^2{y}}dy > \sqrt{x^2 + \sin^2{x}}}.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2886
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: SEEMOUS 2015/1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τρί Μαρ 10, 2015 10:33 am

Λυκειακό το πρώτο θέμα:

Αρκεί να αποδειχθεί, για 0<x<1, η ανισότητα

\displaystyle\int_{0}^{x}{\sqrt{1+cos^2y}dy}>\sqrt{x^2+sin^2x}.

[Πράγματι, από \sqrt{1+cos^2y}>0 προκύπτει άμεσα, για 0<x<1, η \displaystyle\int_{0}^{1}{\sqrt{1+cos^2y}dy}>\int_{0}^{x}{\sqrt{1+cos^2y}dy}.]

Θεωρώντας τώρα την f(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}{\sqrt{1+cos^2y}dy}-\sqrt{x^2+sin^2x} παρατηρούμε ότι f(0)=0 με f'(x)=\sqrt{1+cos^2x}-\displaystyle\frac{x+sinxcosx}{\sqrt{x^2+sin^2x}}, αρκεί συνεπώς να ισχύει η ανισότητα

(1+cos^2x)(x^2+sin^2x)\geq (x+sinxcosx)^2\Leftrightarrow (sinx-xcosx)^2\geq 0.

Γιώργος Μπαλόγλου


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1303
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: SEEMOUS 2015/1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Τρί Μαρ 10, 2015 3:50 pm

Ωραία! Αυτή ήταν και η πρώτη επίσημη λύση που υπήρχε. Την ημέρα όμως που επεξεργαζόμασταν τα προβλήματα παρατήρησα ότι είναι και μία γραμμή λύση με το μήκος τόξου της συνάρτησης f(x)=\sin x. ;)


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης