Vojtech Jarnik 1993/1 Category I

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Vojtech Jarnik 1993/1 Category I

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Φεβ 22, 2016 3:41 pm

Να εξεταστεί αν υπάρχει μη τετριμμένος ομομορφισμός από την προσθετική ομάδα των ρητών στην προσθετική ομάδα των ακεραίων.


Άβαταρ μέλους
emouroukos
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1389
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Vojtech Jarnik 1993/1 Category I

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Δευ Φεβ 22, 2016 5:25 pm

Έστω ότι υπήρχε μη τετριμμένος ομομορφισμός ομάδων \displaystyle{f:\left( {\mathbb{Q}, + } \right) \to \left( {\mathbb{Z}, + } \right)}. Τότε, υπάρχουν \displaystyle{x \in \mathbb{Q}} και \displaystyle{0 \ne n \in \mathbb{Z}} τέτοιοι, ώστε \displaystyle{f\left( x \right) = n.} Τότε, είναι:

\displaystyle{2nf\left( {\frac{x}{{2n}}} \right) = f\left( {2n\frac{x}{{2n}}} \right) = f\left( x \right) = n \Rightarrow 2f\left( {\frac{x}{{2n}}} \right) = 1,}

που είναι άτοπο, αφού \displaystyle{f\left( {\frac{x}{{2n}}} \right) \in \mathbb{Z}.}


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1353
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Vojtech Jarnik 1993/1 Category I

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Τρί Φεβ 23, 2016 12:06 am

Ακόμη μια ιδέα.

Έστω \displaystyle{f:\left(\mathbb{Q},+\right)\longrightarrow \left(\mathbb{Z},+\right)} ένας ομομορφισμός ομάδων, δηλαδή

\displaystyle{f\in\rm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Q},\mathbb{Z})} . Τότε,

\displaystyle{\forall\,n\in\mathbb{Z}: f(n)=f(n\cdot 1)=n\,f(1)} , με \displaystyle{f(1)\in\mathbb{Z}} .

Έστω \displaystyle{x=\dfrac{a}{b}\in\mathbb{Q}-\mathbb{Z}} . 'Έτσι,

\displaystyle{b\,f(x)=f(b\,x)=f(a)=a\,f(1)\implies f(x)=f(1)\,x} . Δηλαδή, \displaystyle{f(x)=f(1)\,x\,,\forall\,x\in\mathbb{Q}} .

Αν \displaystyle{f(1)=m\in\mathbb{Z}-\left\{0\right\}} , τότε \displaystyle{f\,\left(\dfrac{1}{2\,m}\right)=\dfrac{1}{2}\in\mathbb{Q}-\mathbb{Z}} ,

άτοπο. Ώστε, \displaystyle{f(1)=0\implies f=\mathbb{O}} .

Πρόσθετο σχόλιο

Η πιο πάνω λύση μας δείχνει ότι

\displaystyle{\rm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Q},\mathbb{Q})=\left\{f_{a}: f_{a}(x)=a\,x\,\,,\forall\,x\in\mathbb{Q}\,,a\in\mathbb{Q}\right\}\simeq \mathbb{Q}} ως δακτύλιοι

και είναι ένα απλό αντιπαράδειγμα για το ότι δεν ισχύει το αντίστροφο του Λήμματος \displaystyle{\rm{Schur}} για πρότυπα.


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης