Vojtech Jarnik 1993/2 Category I

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Vojtech Jarnik 1993/2 Category I

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Φεβ 22, 2016 3:59 pm

Έστω ένας πραγματικός μαγικός πίνακας A. Δηλαδή υπάρχει μη μηδενικός πραγματικός αριθμός S ώστε το άθροισμα των στοιχείων κάθε στήλης να είναι ίσο με S, το άθροισμα κάθε σειράς να είναι ίσο με S, το άθροισμα των στοιχείων της κύριας διαγωνίου να είναι ίσο με S και το άθροισμα των στοιχείων της δευτερεύουσας διαγωνίου να είναι ίσο με S

(α) Να δειχθεί ότι αν ο A είναι αντιστρέψιμος τότε ο A^{-1} είναι μαγικός.
(β) Να δειχθεί ότι

\displaystyle{ A = \begin{pmatrix} \frac{S}{3} + u & \frac{S}{3} - u + v & \frac{S}{3} - v \\ \frac{S}{3} - u - v & \frac{S}{3} & \frac{S}{3}+u+v \\ \frac{S}{3}+v & \frac{S}{3}+u-v & \frac{S}{3} - u \end{pmatrix} }

για κάποιους πραγματικούς u,v. Επιπλέον να δειχθεί ότι ο A είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν u^2 \neq v^2.

[Δεν διευκρινιζόταν κάπου ότι μιλούσαμε για 3 \times 3 πίνακα.]


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11143
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Vojtech Jarnik 1993/2 Category I

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Μαρ 19, 2016 9:08 pm

Demetres έγραψε:Έστω ένας πραγματικός μαγικός πίνακας A. Δηλαδή υπάρχει μη μηδενικός πραγματικός αριθμός S ώστε το άθροισμα των στοιχείων κάθε στήλης να είναι ίσο με S, το άθροισμα κάθε σειράς να είναι ίσο με S, το άθροισμα των στοιχείων της κύριας διαγωνίου να είναι ίσο με S και το άθροισμα των στοιχείων της δευτερεύουσας διαγωνίου να είναι ίσο με S

(α) Να δειχθεί ότι αν ο A είναι αντιστρέψιμος τότε ο A^{-1} είναι μαγικός.
(β) Να δειχθεί ότι

\displaystyle{ A = \begin{pmatrix} \frac{S}{3} + u & \frac{S}{3} - u + v & \frac{S}{3} - v \\ \frac{S}{3} - u - v & \frac{S}{3} & \frac{S}{3}+u+v \\ \frac{S}{3}+v & \frac{S}{3}+u-v & \frac{S}{3} - u \end{pmatrix} }

για κάποιους πραγματικούς u,v. Επιπλέον να δειχθεί ότι ο A είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν u^2 \neq v^2.

[Δεν διευκρινιζόταν κάπου ότι μιλούσαμε για 3 \times 3 πίνακα.]
Την είχα λύσει όταν την πρότεινε ο Δημήτρης αλλά μόνο τώρα κατάφερα να την καταγράψω:

Θα κάνω το μεγαλύτερο μέρος του (α) για την γενική περίπτωση και μετά θα εξειδικεύσω στους 3 \times 3 που αφορούν το (β). Ορθά επισημαίνει ο Δημήτρης ότι κάτι δεν πάει καλά με την διατύπωση, αφού τίποτα δεν μας λέει ότι μιλάμε για 3 \times 3 πίνακες.

(α) Εύκολα βλέπουμε ότι ένας n\times n πίνακας A έχει σταθερό άθροισμα γραμμών ίσο με \lambda αν και μόνον Ae=\lambda e \, (*) όπου e =(1,1,\, ...\, ,1,1)^t

Αν A αντιστρέψιμος τότε είναι 1-1, οπότε \lambda \ne 0. Από την (*) τώρα βλέπουμε ότι A^{-1}e= \frac {1}{\lambda} e , που σημαίνει ότι ο A^{-1} έχει σταθερό άθροισμα γραμμών ίσο με \frac {1}{\lambda}.

Αν ο A έχει σταθερό άθροισμα στηλών, τότε ο A^t έχει σταθερό άθροισμα γραμμών. Από το προηγούμενο, συμβαίνει το ίδιο για τον (A^t)^{-1}= (A^{-1})^t. Συνεπώς ο A^{-1} έχει σταθερό άθροισμα στηλών.

Αυτό δείχνει ότι ισχύει στην γενική περίπτωση του (α) τουλάχιστον για πίνακες με σταθερό άθροισμα γραμμών και στηλών. Μένει η περίπτωση των αθροισμάτων των διαγωνίων, το οποίο θα κάνω μόνο για 3 \times 3 πίνακες στο (β).

(β) Ονομάζουμε g_k, s_k το άθροισμα της k γραμμής, αντίστοιχα στήλης, ενός 3\times 3 πίνακα A=(a_{ij}) και d_1, d_2 τα αθροίσματα των διαγωνίων. Για μαγικούς πίνακες ισχύει g_1=g_2=g_3=s_1=s_2=s_3=d_1=d_2=S.

Για τον κεντρικό όρο a_{22} εύκολα βλέπουμε ότι 3a_{22}= d_1+d_2+r_2-r_1-r_3=S . Άρα a_{22} = S/3 (είναι ζητούμενο της άσκησης). Χωρίς βλάβη a_{11}=  S/3+u, \, a_{13}=  S/3+v. Εύκολα τώρα συμπληρώνουμε τα υπόλοιπα στοιχεία του A , και διαπιστώνουμε ότι είναι της μορφής που δίνει το (β) .

Εύκολα βλέπουμε (πολλές οι πράξεις αν δεν γίνουν κατ' οικονομίαν) ότι ο A έχει ορίζουσα 3(v^2-u^2)S που σημαίνει ότι είναι αντιστρέψιμος αν και μόνον αν v^2-u^2\ne 0 (πρόκειται για ζητούμενο της άσκησης).

Όλα τα υπόλοιπα τώρα αποδεικνύονται απλά αφού μπορούμε να γράψουμε τον αντίστροφο. Μετά από πράξεις είναι

A^{-1} = \frac {1}{3(v^2-u^2)S} \begin{pmatrix} 
 v^2-u^2-uS& (u+v-S)(v-u) &v^2-u^2+vS  \\  
 (v-u+S)(v+u)& v^2-u^2 &(v-u-S)(v+u)  \\  
 v^2-u^2-vS& (u+v+S)(v-u) & v^2-u^2+uS 
\end{pmatrix}

από όπου τα αποδεικτέα είναι άμεσα.

Σχόλιο: Το (β), εκτός ίσως το πρώτο βήμα, είναι κακή άσκηση για διαγωνισμό. Λίγες οι ιδέες και πολλές οι πράξεις.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες