Vojtech Jarvik 2012/1 Category I

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Vojtech Jarvik 2012/1 Category I

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Φεβ 28, 2016 8:56 pm

Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f:[0,1] \to [0,1] με |f'(x)| \neq 1 για κάθε x \in [0,1]. Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν μοναδικά \alpha,\beta \in [0,1] με f(\alpha) = \alpha και f(\beta) = 1-\beta.


s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Vojtech Jarvik 2012/1 Category I

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Κυρ Φεβ 28, 2016 10:38 pm

Demetres έγραψε:Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f:[0,1] \to [0,1] με |f'(x)| \neq 1 για κάθε x \in [0,1]. Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν μοναδικά \alpha,\beta \in [0,1] με f(\alpha) = \alpha και f(\beta) = 1-\beta.
Μου φαίνεται ιδιαίτερα εύκολη για φοιτητικό διαγωνισμό.

Η ύπαρξη του \displaystyle{\alpha} προκύπτει από την εφαρμογή του θεωρήματος Bolzano στο διάστημα \displaystyle{[0,1]} για τη συνάρτηση \displaystyle{f(x)-x} (κάνοντας διάκριση

για τα άκρα). Επειδή \displaystyle{f'(x)\neq 1, \forall x \in [0,1]} θα είναι ή \displaystyle{f'(x) > 1, \forall x \in [0,1]}

ή \displaystyle{f'(x) <1, \forall x \in [0,1]}.

Στην πρώτη περίπτωση η συνάρτηση \displaystyle{f(x)-x} θα είναι γνησίως αύξουσα και στη δεύτερη γνησίως φθίνουσα στο \displaystyle{[0,1]}, άρα το παραπάνω \displaystyle{\alpha}

είναι μοναδικό.

Ομοίως δουλεύουμε για το \displaystyle{\beta} με τη συνάρτηση \displaystyle{f(x)+x-1}.


Σπύρος Καπελλίδης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης