SEEMOUS 2016/1

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8571
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

SEEMOUS 2016/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Μαρ 04, 2016 11:12 pm

Έστω συνεχής και φθίνουσα συνάρτηση f:[0,\pi/2] \to \mathbb{R}. Να αποδειχθούν οι ανισότητες

\displaystyle{ \int_{\pi/2-1}^{\pi/2} f(x) \, \mathrm{d}x \leqslant \int_{0}^{\pi/2} f(x)\cos{x} \, \mathrm{d}x \leqslant \int_{0}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x}

Πότε ισχύουν οι ισότητες;


gavrilos
Δημοσιεύσεις: 1034
Εγγραφή: Παρ Δεκ 07, 2012 4:11 pm

Re: SEEMOUS 2016/1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gavrilos » Σάβ Μαρ 05, 2016 12:15 am

Γεια σε όλους.Μια λύση με επιφύλαξη.

Για κάθε \displaystyle{x\in [0,1]} ισχύει \displaystyle{\sin x\leq x\overset{\arcsin \nearrow [0,1]}\Rightarrow \arcsin (\sin x)\leq \arcsin x \Rightarrow \arcsin x\geq x \ \forall x\in [0,1]}.

Ακόμη,θα δείξουμε ότι \displaystyle{x+\frac{\pi}{2}-1\geq \arcsin x \ \forall x\in [0,1]}.Ισοδύναμα \displaystyle{1-x\leq \arcsin 1-\arcsin x}.

\bullet Για \displaystyle{x=1} το ζητούμενο ισχύει.

\bullet Έστω τυχαίο \displaystyle{x_0\in [0,1)}\displaystyle{\arcsin} ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο \displaystyle{[x_0,1]}.

Άρα \displaystyle{\exists y_0\in (x_0,1):(\arcsin x)'\mid_{x=y_0}=\frac{\arcsin 1-\arcsin x_0}{1-x_0}}.

Όμως \displaystyle{(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}>1 \ \forall x\in (-1,1)} άρα \displaystyle{\frac{\arcsin 1-\arcsin x_0}{1-x_0}>1\overset{1-x_0>0}\Rightarrow 1-x_0<\arcsin 1-\arcsin x_0}.

Το \displaystyle{x_0\in [0,1)} επιλέχθηκε τυχαία άρα το ζητούμενο ισχύει για κάθε \displaystyle{x\in [0,1)}.

Τελικά \displaystyle{x+\frac{\pi}{2}-1\geq \arcsin x\geq x \ , \ \forall x\in [0,1]\overset{f\searrow [0,1]}\Rightarrow f\left(x+\frac{\pi}{2}-1\right)\leq f(\arcsin x)\leq f(x) \ , \ \forall x\in [0,1]\Rightarrow}

\displaystyle{\Rightarrow \int_{0}^{1}f\left(x+\frac{\pi}{2}-1\right)dx\leq \int_{0}^{1}f(\arcsin x)dx\leq \int_{0}^{1}f(x)dx \ (\bigstar)}

\bullet \displaystyle{\int_{0}^{1} f\left(x+\frac{\pi}{2}-1\right)dx\overset{u=x+\frac{\pi}{2}-1}=\int_{\frac{\pi}{2}-1}^{\frac{\pi}{2}} f(u)du}.

\bullet \displaystyle{\int_{0}^{1} f(\arcsin x)dx\overset{x=\sin u}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(u)\cos u du}.

Από τις δύο τελευταίες και την \displaystyle{(\bigstar)} έχουμε το ζητούμενο.

Ισότητες αν η \displaystyle{f} είναι σταθερή.


Αν τα γεγονότα δεν συμφωνούν με τη θεωρία, τότε αλίμονο στα γεγονότα.

Albert Einstein
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης