Γεια σε όλους.Μια λύση με επιφύλαξη.
Για κάθε
![\displaystyle{x\in [0,1]} \displaystyle{x\in [0,1]}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/5e81360431c08e0a8c0b22f06b433130.png)
ισχύει
![\displaystyle{\sin x\leq x\overset{\arcsin \nearrow [0,1]}\Rightarrow \arcsin (\sin x)\leq \arcsin x \Rightarrow \arcsin x\geq x \ \forall x\in [0,1]} \displaystyle{\sin x\leq x\overset{\arcsin \nearrow [0,1]}\Rightarrow \arcsin (\sin x)\leq \arcsin x \Rightarrow \arcsin x\geq x \ \forall x\in [0,1]}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/02b6210af4e4ff744fa09fb09d2222e3.png)
.
Ακόμη,θα δείξουμε ότι
![\displaystyle{x+\frac{\pi}{2}-1\geq \arcsin x \ \forall x\in [0,1]} \displaystyle{x+\frac{\pi}{2}-1\geq \arcsin x \ \forall x\in [0,1]}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/dc24acf8e5980a41c0dbfcf059331931.png)
.Ισοδύναμα

.

Για

το ζητούμενο ισχύει.

Έστω τυχαίο

.Η

ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο
![\displaystyle{[x_0,1]} \displaystyle{[x_0,1]}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/a38deeb6a37c6d8f4a8d1fccd3a4a7b9.png)
.
Άρα

.
Όμως

άρα

.
Το

επιλέχθηκε τυχαία άρα το ζητούμενο ισχύει για κάθε

.
Τελικά

.

.
Από τις δύο τελευταίες και την

έχουμε το ζητούμενο.
Ισότητες αν η

είναι σταθερή.
Αν τα γεγονότα δεν συμφωνούν με τη θεωρία, τότε αλίμονο στα γεγονότα.
Albert Einstein