SEEMOUS 2016/2
Συντονιστής: Demetres
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
SEEMOUS 2016/2
(α) Να δειχθεί ότι για κάθε πίνακα υπάρχει πίνακας έτσι ώστε .
(β) Να δειχθεί ότι υπάρχει πίνακας έτσι ώστε για κάθε .
(β) Να δειχθεί ότι υπάρχει πίνακας έτσι ώστε για κάθε .
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 57
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 31, 2012 10:10 pm
Re: SEEMOUS 2016/2
α) Ξεκινάμε τριγωνοποιώντας τον , έτσι πολλαπλασιάζοντας με κατάλληλο αντιστρέψιμο πίνακα από δεξιά και με τον αντίστροφό του από αριστερά παίρνουμε , όπου είναι άνω τριγωνικός. Αυτή η διαδικασία δεν αλλάζει τον αριθμό λύσεων. Θέτουμε για λόγους ευκολίας. Έτσι, παίρνουμε ότι αν τότε . Αν , τότε η λύση είναι προφανής. Αν όχι, μπορούμε σε αυτό το σημείο να αναζητήσουμε μια λύση σε άνω τριγωνική μορφή. Ξέρουμε εκ των προτέρων πως η λύση θα γράφεται όπου είναι τρίτες ρίζες των αντίστοιχα (οι τιμές μπορεί να ταυτίζονται) που θα προσδιοριστούν εν συνεχεία. Έχουμε έτσι, . Έχοντας διαλέξει τυχαία , μπορούμε να διαλέξουμε το έτσι ώστε και έτσι προσδιορίζουμε το . Οι τελικές λύσεις είναι πλέον εύκολα προσδιορίσιμες.
β)Θέτουμε , με . Mοναδική ιδιοτιμή του είναι προφανώς το . Έχουμε πως . Μια λύση της δοθείσας έχει μοναδική ιδιοτιμή το και στην τρίτη δύναμη είναι ίση με τον μηδενικό πίνακα (αρκεί κανείς να τριγωνοποιήσει την λύση). Αδύνατο. Άρα η δοθείσα δεν έχει λύση.
β)Θέτουμε , με . Mοναδική ιδιοτιμή του είναι προφανώς το . Έχουμε πως . Μια λύση της δοθείσας έχει μοναδική ιδιοτιμή το και στην τρίτη δύναμη είναι ίση με τον μηδενικό πίνακα (αρκεί κανείς να τριγωνοποιήσει την λύση). Αδύνατο. Άρα η δοθείσα δεν έχει λύση.
Υπόδειξη: Έστω ...
Allain Pommellet
Allain Pommellet
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 11 επισκέπτες