SEEMOUS 2016/3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8447
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

SEEMOUS 2016/3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Μαρ 04, 2016 11:20 pm

Έστω ταυτοδύναμοι (idempotent) πίνακες A_1,\ldots,A_k (δηλαδή A_i^2 = A_i) στο \mathcal{M}_n(\mathbb{R}). Να αποδειχθεί ότι

\displaystyle{ \sum_{i=1}^k N(A_i) \geqslant \mathrm{rank}\left(I - \prod_{i=1}^k A_i \right)}

όπου N(A_i) = n - \mathrm{rank}(A_i).


Άβαταρ μέλους
Zarifis
Δημοσιεύσεις: 107
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 15, 2011 12:44 am
Τοποθεσία: Νίκαια

Re: SEEMOUS 2016/3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Zarifis » Σάβ Μαρ 19, 2016 1:39 pm

Απο χαρακτηριστίκο(που είναι κι ελάχιστο) πολυώνυμο βλέπουμε ότι κάθε A_i είναι διαγωνοποιήσιμο κι επισης ότι οι ιδιοτιμές είναι 0 ή 1.
Επαγωγικά: Για έναν πίνακα A_i προφανώς ισχύει η ανισότητα αφού με μια αλλαγή βάσης βλέπουμε n-N(A)=rank(I-A) .
Έστω ότι ισχύει για n=k . Κι πάμε για το επαγωγικό βήμα. Έχουμε ότι για k+1:
\mathrm{rank}(I-\prod_{i=1}^{n}A_i) + n-\mathrm{rank}(A_{k+1}) = \mathrm{rank}(I-\prod_{i=1}^{k}A_i) + \mathrm{rank}(I-A_{k+1}) .
Τώρα μπορούμε να δείξουμε ότι υπάρχει μια αλλαγή βάσεις τέτοια ώστε \prod_{i=1}^{k}A_i =LDL^{-1} διαγώνιο πίνακα (από ελάχιστο πολυώνυμο).
Άρα θέλουμε να δείξουμε ότι \mathrm{rank}(I-D) + \mathrm{rank}(I-D_{n+1}) \ge \mathrm{rank}(I-DD_{n+1}) (πάλι αλλάγη βάσης). Άρα ότι 2n - (\sum \lambda_i + t_i)  \ge n-\sum \lambda_i t_i.
Άρα φτάνει να δείξουμε ότι : n \ge (\sum \lambda_i + t_i) -\sum \lambda_i t_i το οποίο αφού οι ιδιοτιμές είναι ίσες με bits απο boole βλέπουμε ότι n \ge \sum \lambda_i  \ or\  t_i το οποίο προφανώς ισχύει.
τελευταία επεξεργασία από Demetres σε Σάβ Μαρ 19, 2016 10:58 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Βελτίωση LaTeX


Τι νόημα έχει το όνειρο χωρίς μικρές νοθείες...
Νίκος Ζαρίφης-ΗΜΜΥ
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες