Vojtech Jarnik 1993/1 Category II

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Vojtech Jarnik 1993/1 Category II

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Μαρ 19, 2016 10:40 pm

Να εξεταστεί αν

(α) \mathbb{Q}[x]/(x^2-1) \cong \mathbb{Q}[x]/(x^2-4)

(β) \mathbb{Q}[x]/(x^2+1) \cong \mathbb{Q}[x]/(x^2+2x+2)


BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1353
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Vojtech Jarnik 1993/1 Category II

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Κυρ Μαρ 20, 2016 2:08 pm

Μια ιδέα για το α)(Δεν είμαι σίγουρος όμως)

Με χρήση του Κινέζικου Θεωρήματος Υπολοίπων έχουμε ότι

\displaystyle{\mathbb{Q}[x]/\langle{x^2-1\rangle}=\mathbb{Q}[x]/\langle{(x-1)(x+1)\rangle}\cong \mathbb{Q}[x]/\langle{x-1\rangle}\times \mathbb{Q}[x]/\langle{x+1\rangle}\cong \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}}

Παρόμοια, \displaystyle{\mathbb{Q}[x]/\langle{x^2-4\rangle}\cong \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}} .

Άρα είναι ισόμορφα.

Στο β), οι δακτύλιοι φαίνεται να μοιάζουν πολύ καθώς \displaystyle{x^2+2\,x+2=(x+1)^2+1} .

Δεν έχω βρει όμως κάποιον ισομορφισμό.


Παπαπέτρος Ευάγγελος
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2371
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Vojtech Jarnik 1993/1 Category II

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Μαρ 20, 2016 2:32 pm

Το α) είναι σωστό όπως έχει γραφεί.

Και το β) είναι σωστό.
Και οι δυο δακτύλιοι είναι ισόμορφοι με το μικρότερο υπόσωμα των
μιγαδικών που περιέχει τους ρητούς και την φανταστική μονάδα.

Εύκολο σαν θέμα.
Θα μπορούσε να ήταν θέμα στο μάθημα Βασική Άλγεβρα που διδάσκεται
στο τρίτο εξάμηνο του Μαθηματικού Αθηνών.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Vojtech Jarnik 1993/1 Category II

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Μαρ 20, 2016 9:41 pm

Γενικά ισχύει το ακόλουθο θεώρημα:

Αν \alpha \in \mathbb{C} είναι αλγεβρικός αριθμός με ελάχιστο πολυώνυμο f(x) τότε

\displaystyle{ \mathbb{Q}[x]/(f(x)) \cong \mathbb{Q}(\alpha)}

Οπότε στο (β) έχουμε

\displaystyle{ \mathbb{Q}[x]/(x^2+1) \cong \mathbb{Q}(i) \cong \mathbb{Q}(-1+i) \cong \mathbb{Q}[x]/(x^2+2x+2)}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες