Vojtech Jarnik 1993/2 Category II

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Vojtech Jarnik 1993/2 Category II

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Μαρ 19, 2016 10:45 pm

Έστω θετικός ακέραιος n και φυσικοί αριθμοί m_0,m_1,\ldots,m_{n-1} με m_i < p_{n-i} για 0 \leqslant i \leqslant n-1 όπου p_k είναι ο k-οστός πρώτος. Να δειχθεί ότι αν ο

\displaystyle{ \frac{m_0}{p_{n}} + \frac{m_1}{p_{n-1}} + \cdots + \frac{m_{n-1}}{2}}

είναι φυσικός αριθμός τότε m_0 = m_1 = \cdots = m_{n-1} = 0.

Επεξεργασία: Διόρθωση δεικτών.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11143
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Vojtech Jarnik 1993/2 Category II

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μαρ 20, 2016 3:35 pm

Demetres έγραψε:Έστω θετικός ακέραιος n και φυσικοί αριθμοί m_0,m_1,\ldots,m_{n-1} με m_i < p_{n-i} για 0 \leqslant i \leqslant n-1 όπου p_k είναι ο k-οστός πρώτος. Να δειχθεί ότι αν ο

\displaystyle{ \frac{m_0}{p_{n}} + \frac{m_1}{p_{n-1}} + \cdots + \frac{m_{n-1}}{2}}

είναι φυσικός αριθμός τότε m_0 = m_1 = \cdots = m_{n-1} = 0.
Για κάποιον N, αφού διώξουμε τους παρονομαστές, έχουμε

\displaystyle{ m_0p_{1}p_{2}... p_{n-1} +  m_1p_{1}p_{2} ... p_{n-2} p_{n} + ... + m_{n-1}p_{2} ...  p_{n-1} p_{n} = N p_{1}p_{2} ...  p_{n}  }

Έπεται ότι ο πρώτος p_1 διαιρεί τον m_{n-1}p_{2} ...  p_{n-1} p_{n} αφού διαιρεί όλους τους άλλους προσθετέους. Άρα
p_1| m_{n-1} < p_1 (η ανισότητα είναι στις υποθέσεις), και άρα m_{n-1}=0. Με ακριβώς τον ίδιο τρόπο βγάζουμε όλα τα m_k=0.

Φιλικά,

Μιχάλης
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Κυρ Μαρ 20, 2016 9:38 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Vojtech Jarnik 1993/2 Category II

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Μαρ 20, 2016 4:45 pm

Μεταφέρθηκε στους διαγωνισμούς για μαθητές αφού δεν υπήρχε κάτι το «φοιτητικό» στην λύση.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης